3 Если взять за единицы измерений сантиметр и секунду, то, согласно Бэйли (Baily), повторившему эксперименты Кавендиша, астрономическая единица массы окажется равной примерно 1,537⋅107 грамма или 15,37 тонн. Бэйли принял для средней плотности Земли значение 5,6604 как средний результат всех его опытов; это даёт с учётом использованных им размеров Земли и силы тяжести на поверхности Земли приведённое выше значение массы, являющееся, таким образом, непосредственным следствием его экспериментов.
Производные Единицы
6. Единица Скорости - это такая скорость, при которой в единицу времени проходится единица длины. Её размерность равна [𝐿𝑇-1].
Если за единицу длины и времени принять величины, выведенные из колебаний света, то единицей скорости станет скорость света.
Единица Ускорения - это такое ускорение, при котором скорость возрастает на единицу за единицу времени. Её размерность [𝐿𝑇-2].
Единица Плотности - это плотность вещества, содержащего в единице объёма единицу массы. Её размерность [𝑀𝐿-3].
Единица Импульса (количества движения) - это импульс единицы массы, движущейся с единичной скоростью. Её размерность [𝑀𝐿𝑇-1].
Единица Силы - это такая сила, которая производит единичный импульс в единицу времени. Её размерность [𝑀𝐿𝑇-2].
Эта единица силы является абсолютной, и такое её определение применимо к любому уравнению Динамики. Тем не менее во многих учебниках, где приводятся эти уравнения, принята иная единица силы, а именно вес национальной единицы массы; тогда, для того чтобы удовлетворить уравнениям, приходится отказываться от самой национальной единицы массы, а в качестве динамической единицы принять некоторую искусственную, равную национальной единице, делённой на численное значение интенсивности тяготения в данном месте. При этом обе единицы - и силы, и массы - становятся зависящими от значения интенсивности тяготения, которая изменяется от места к месту, так что утверждения, в которых фигурируют эти величины, оказываются неполными без знания интенсивности тяготения для тех мест, где установлена справедливость этих утверждений.
Упразднение этого метода измерения сил для всех научных целей в основном обусловлено введением Гауссом общей системы наблюдений магнитной силы в странах, где интенсивность тяготения различна. Сейчас все силы такого рода измеряются в соответствии со строго динамическим методом, вытекающим из наших определений, и численные результаты измерений получаются одинаковыми, в какой бы стране эти измерения ни проводились.
Единица Работы - это работа, производимая единичной силой, действующей на единичном пути в направлении этой силы. Её размерность [𝑀𝐿2𝑇-2].
Энергия системы, будучи её способностью к совершению работы, измеряется той работой, которую способна совершать система, израсходовав всю свою энергию.
Определения других величин, а также относящихся к ним единиц, будут даны в тех местах, где они нам потребуются.
Преобразовывая значения физических величин, определённых через одну физическую единицу, с целью их представления через какие-либо другие однотипные единицы, мы должны помнить, что каждое выражение величины состоит из двух множителей - из единицы измерений и числа, показывающего, сколько раз эта единица должна быть взята. Следовательно, численная часть выражения изменяется обратно пропорционально величине единицы измерений, т. е. обратно пропорционально тем различным степеням основных единиц, которые определяют размерность данной производной единицы.
О физической непрерывности и разрывности
7. Про какую-либо величину говорят как про изменяющуюся непрерывно, если при переходе от одного значения к другому она принимает все промежуточные значения.
К понятию непрерывности мы приходим при рассмотрении непрерывного существования частицы материи во времени и в пространстве. Такая частица не может перейти из одного положения в другое, не описав в пространстве непрерывную линию, и координаты её положения должны быть непрерывными функциями времени.
В так называемом «уравнении непрерывности» в том виде, как оно приводится в трактатах по Гидродинамике, выражен факт, что вещество не может появиться или исчезнуть из некоторого элемента объёма, не проходя внутрь или наружу через его границы.
Величина называется непрерывной функцией своих переменных, если при непрерывном изменении этих переменных она сама изменяется непрерывно.
Таким образом, если 𝑢 есть функция 𝑥 и при непрерывном изменении 𝑥 от 𝑥0 до 𝑥1 и непрерывно переходит от 𝑢0 до 𝑢1 а при изменении 𝑥 от 𝑥1 до 𝑥2 и переходит от 𝑢'1 до 𝑢'2, причём 𝑢'1 отличается от 𝑢1 то про величину 𝑢 говорят, что она имеет разрыв относительно изменения 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1, потому что она меняется от 𝑢1 до 𝑢'1 скачком при непрерывном прохождении 𝑥 через 𝑥1.
Рассмотрим производную от 𝑢 по 𝑥 при значении 𝑥=𝑥1 как предел дроби (𝑢2-𝑢)/(𝑥2-𝑥), когда 𝑥2 и 𝑥0 становятся сколь угодно близкими к 𝑥1. Тогда, если 𝑥0 и 𝑥2 всё время находятся по разные стороны от 𝑥1 предельное значение числителя станет равным 𝑢'1-𝑢1, а предельное значение знаменателя обратится в нуль. Если 𝑢 является величиной физически непрерывной, то разрыв может осуществляться только при определённых значениях переменной 𝑥. В этом случае мы можем допустить, что величина 𝑢 имеет бесконечную производную при 𝑥=𝑥1. Если же 𝑢 не является физически непрерывной, она может быть недифференцируема вообще.
В физических вопросах можно избавиться от идеи разрывности без ощутимых изменений условий рассматриваемой задачи. Если 𝑥0 ничтожно меньше 𝑥1, а 𝑥2 ничтожно больше 𝑥1 то величина 𝑢0 почти равна 𝑢1 а величина 𝑢2 почти равна 𝑢'1. И мы можем теперь предположить, что 𝑢 изменяется каким-либо произвольным, но непрерывным образом от 𝑢0 до 𝑢2 между пределами 𝑥0 и 𝑥2. Во многих физических вопросах можно, сделав вначале такого рода предположение, исследовать затем полученный результат, приближая, а в пределе и совмещая, значения 𝑥0 и 𝑥2 со значением 𝑥1. Если ответ не зависит от произвола, допущенного нами в способе изменения величины 𝑢 (внутри её пределов), мы можем считать его верным также и для разрывных 𝑢.
Разрывность функции от более чем одной переменной
8. Если значения всех переменных, кроме 𝑥, положить постоянными, то разрыв функции будет происходить при некоторых значениях 𝑥, связанных с другими переменными уравнением, которое можно записать так:
φ=φ(𝑥,𝑦,𝑧,…)=0.
Разрыв будет происходить, когда φ=0. При φ положительных функция будет иметь вид 𝐹2(𝑥,𝑦,𝑧,…), а при φ отрицательных -𝐹1(𝑥,𝑦,𝑧,…), причём не нужно налагать никаких необходимых связей между 𝐹1 и 𝐹2.
Для того, чтобы выразить эту разрывность в математической форме, допустим, что одна из переменных, скажем, переменная 𝑥, представлена как функция от φ и от остальных переменных; допустим также, что 𝐹1 и 𝐹2 представлены как функции φ, 𝑦, 𝑧, …. Тогда мы может описать общий вид этой функции с помощыо такой формулы, которая при положительных φ давала бы значения приблизительно равные 𝐹2, а при отрицательных φ - приблизительно равные 𝐹1. Эта формула такова:
𝐹=
𝐹1+𝑒𝑛φ𝐹2
1+𝑒𝑛φ
.
