Иногда всё же мы обнаруживаем несколько единиц одного и того же вида, возникших по независимым соображениям. Так, галлон (объём десяти фунтов воды) используется в качестве единицы ёмкости наряду с кубическим футом. В некоторых случаях галлон может быть удобной мерой, но он не относится к системным единицам, так как его численное отношение к кубическому футу не равно круглому целому числу.

2. При построении математической системы мы считаем основные единицы - длины, времени и массы - заданными, а все производные единицы выводим из них с помощью простейших приемлемых определений.

Формулы, к которым мы приходим, должны быть такими, чтобы представитель любого народа, подставляя вместо символов численные значения величин, измеренные в его национальных единицах, получил бы верный результат.

Следовательно, во всех научных исследованиях очень важно использовать единицы, принадлежащие к системе, должным образом определённой, равно как и знать их связи с основными единицами, чтобы иметь возможность сразу же пересчитывать результаты из одной системы в другую.

Удобнее всего это делать, установив размерность каждой единицы по отношению к трём основным. Если некоторая заданная единица изменяется как 𝑛-я степень одной из основных единиц, то говорят, что она 𝑛-размерна или имеет размерность 𝑛 по отношению к этой единице.

Например, принятая в науке единица объёма всегда представляет собой куб, стороны которого равны единице длины. Если единица длины изменится, то единица объёма изменится как третья степень длины, поэтому говорят, что единица объёма относительно единицы длины имеет размерность равную трём.

Знание размерности единиц снабжает нас способом проверки, который следует применять к уравнениям, полученным в результате длительных исследований. Размерность каждого из членов такого уравнения относительно каждой из трёх основных единиц должна быть одной и той же. Если это не так, то уравнение бессмысленно, оно содержит какую-то ошибку, поскольку его интерпретация оказывается разной и зависящей от той произвольной системы единиц, которую мы принимаем ¹.

¹ Теория размерностей была сформулирована впервые Фурье (Fourier, Théorie de Cha-teur, § 160).

Три основные единицы

3. (1) Длина. Эталоном длины, используемым в нашей стране в научных целях, служит фут, который составляет третью часть стандартного ярда, хранящегося в Казначейской Палате.

Во Франции и в других странах, принявших метрическую систему, эталоном длины является метр. Теоретически это одна десятимиллионная часть длины земного меридиана, измеренного от полюса до экватора; практически же это длина хранящегося в Париже эталона, изготовленного Борда (Borda) с таким расчётом, чтобы при температуре таяния льда он соответствовал значению длины меридиана, полученному Делямбром (Delambre). Изменения, отражающие новые и более точные измерения Земли, не вносятся в метр, наоборот,- сама дуга меридиана исчисляется в первоначальных метрах.

В астрономии за единицу длины принимается иногда среднее расстояние от Земли до Солнца.

При современном состоянии науки наиболее универсальным эталоном длины из числа тех, которые можно было бы-предложить, служила бы длина волны света определённого вида, испускаемого каким-либо широко распространённым веществом (например, натрием), имеющим в своём спектре чётко отождествляемые линии. Такой эталон не зависел бы от каких-либо изменений в размерах Земли и его следовало бы принять тем, кто надеется, что их писания окажутся более долговечными, чем это небесное тело.

При работе с размерностями единиц мы будем обозначать единицу длины как [𝐿]. Если численное значение длины равно 𝑙, то это понимается как значение, выраженное через определённую единицу [𝐿], так что вся истинная длина представляется как 𝑙[𝐿]

4. (2) Время. Во всех цивилизованных странах стандартная единица времени выводится из периода обращения Земли вокруг своей оси. Звёздные сутки или истинный период обращения Земли может быть установлен с большой точностью при обычных астрономических наблюдениях, а средние солнечные сутки могут быть вычислены из звёздных благодаря нашему знанию продолжительности года.

Секунда среднего солнечного времени принята в качестве единицы времени во всех физических исследованиях.

В астрономии за единицу времени иногда берётся год. Более универсальную единицу времени можно было бы установить, взяв период колебаний того самого света, длина волны которого равна единице длины.

Мы будем именовать конкретную единицу времени как [𝑇], а числовую меру времени обозначать через 𝑡.

5. (3) Масса. В нашей стране стандартной единицей массы является эталонный коммерческий фунт (avoirdupois pound), хранящийся в Казначейской Палате. Часто используемый в качестве единицы гран (grain) составляет одну 7000-ю долю этого фунта.

В метрической системе единицей массы служит грамм; теоретически это масса кубического сантиметра дистиллированной воды при стандартных значениях температуры и давления, а практически это одна тысячная часть эталонного килограмма, хранящегося в Париже.

Та точность, с которой массы тел можно сравнивать между собой при помощи взвешивания, далеко превышает точности, достигнутые в измерении длин, так что все массы должны по мере возможности сравниваться непосредственно с эталоном, а не вычисляться на основе опытов с водой.

В описательной астрономии за единицу массы иногда берётся масса Солнца или Земли, но в теоретической астродинамике единица массы выводится исходя из единиц времени и длины в сочетании с фактом универсальности гравитации. Астрономической единицей массы является такая масса, которая, притягивая другое тело, помещённое от неё на единичном расстоянии, сообщает этому телу единичное ускорение.

Формируя некоторую универсальную систему единиц, мы можем либо вывести единицу массы указанным выше путём из уже определённых ранее единиц длины и времени (а это мы умеем делать в грубом приближении уже при современном состоянии науки), либо, рассчитывая на возможность определения ² в недалёком будущем массы одной молекулы стандартного вещества, можем подождать этого определения и не устанавливать пока универсального эталона массы.

² См. Prof. J. Loschmidt, «Zur Grösse der Luftmolecule», Academy of Vienna, Oct. 12, 1865; G. J. Stoney on «The Inertial Motion of Gases» Phil. Mag., Aug. 1868 and Sir W. Thomson on «The Size of Atoms», Nature. March 31, 1870.

При рассмотрении размерности других единиц мы будем обозначать конкретную единицу массы символом [𝑀]. Единица массы будет взята в качестве одной из трёх основных величин. Но если, как это делается во французской системе, определённое вещество, а именно вода, берётся в качестве эталона плотности, то единица массы уже перестаёт быть независимой, а изменяется подобно единице объёма, т. е. как [𝐿³].

Если же, как в астрономической системе, единица массы выражена через силу её притяжения, то размерность [𝑀] оказывается такой: [𝐿³𝑇^-2].

В самом деле, ускорение, обусловленное притяжением массы 𝑚 на расстоянии 𝑟, согласно закону Ньютона равно 𝑚/𝑟². Допустим, что это притяжение действует на первоначально покоящееся тело в течение очень короткого промежутка времени 𝑡 и заставляет его описать пространственное смещение 𝑠, тогда по формуле Галилея имеем

𝑠

=

1

2

ƒ𝑡²

=

1

2

𝑚

𝑟²

𝑡²

,

откуда 𝑚=2𝑟²𝑠/𝑡². Так как и 𝑟, и 𝑠 - длины, a 𝑡 - время, это уравнение не может выполняться, если размерность 𝑚 не равна [𝐿³𝑇^-2]. То же самое можно показать и для любого астрономического уравнения, где масса тела фигурирует в некоторых (но не во всех) членах ³.