Это и есть та самая правая (правосторонняя) система отсчёта, которая принята Томсоном и Тэтом в их книге «Натуральная философия» (Natural Philosophy), а также в книге Тэта «Кватернионы» (Quaternions). Противоположная ей левая (левосторонняя) система отсчёта принята в гамильтоновых «Кватернионах» (Lectures, р. 76, and Elements, р. 108, and р. 117 note). Операция перехода от одной системы к другой названа Листингом Перверсией - обращением, зеркальным отражением.
Отражение какого-либо предмета в зеркале является его обращённым изображением.
Используя Декартовы оси координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, мы будем изображать их так, чтобы общепринятая договорённость о циклическом порядке расположения символов приводила к правой системе отсчёта направлений в пространстве. Так, если ось 𝑥 проведена смотрящей на восток, а ось 𝑦 - на север, то ось 𝑧 должна быть проведена вертикально вверх.
Площади поверхностей будут браться с положительным знаком в том случае, когда порядок интегрирования совпадает с циклическим порядком расстановки символов. Так, площадь на плоскости 𝑥𝑦 расположенная внутри некоторой замкнутой кривой, может быть записана либо ∫𝑥𝑑𝑦 либо - ∫𝑦𝑑𝑥; в первом выражении порядок интегрирования есть 𝑥, 𝑦 во втором - 𝑦, 𝑥.
Это соотношение между двумя произведениями 𝑑𝑥 𝑑𝑦 и 𝑑𝑦 𝑑𝑥 можно сравнить с правилом умножения двух перпендикулярных векторов в теории кватернионов, где знак произведения определяется порядком умножения; его можно сравнить также с изменением знака детерминанта, происходящим при перестановке местами соседних строчек или столбцов.
По таким же причинам объёмный интеграл должен считаться положительным, когда порядок интегрирования совпадает с циклической расстановкой переменных 𝑥, 𝑦, 𝑧 и отрицательным при обращённом порядке цикличности.
Перейдём теперь к доказательству теоремы, полезной для установления связи между поверхностным интегралом, взятым по некоторой конечной поверхности, и линейным интегралом, взятым вдоль её границы.
24.Теорема IV.Линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой, может быть выражен через поверхностный интеграл, взятый по поверхности, ограниченной этой кривой.
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 будут составляющие той векторной величины 𝔄, линейный интеграл от которой должен быть взят по замкнутой кривой 𝑠.
Пусть произвольная непрерывная поверхность 𝑆 целиком ограничена замкнутой кривой 𝑠, а составляющие ξ, η, ζ другой векторной величины 𝔅 связаны с составляющими 𝑋, 𝑌, 𝑍 уравнениями
ξ
=
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-
𝑑𝑌
𝑑𝑧
,
η
=
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-
𝑑𝑍
𝑑𝑥
,
ζ
=
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
.
(1)
Тогда поверхностный интеграл от 𝔅, взятый по поверхности 𝑆, равен линейному интегралу от 𝔄, взятому вдоль кривой 𝑠. Очевидно, что сами составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍 удовлетворяют условию соленоидальности.
Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 будут направляющими косинусами нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆, отсчитываемой в положительном направлении. Тогда величина поверхностного интеграла от 𝔅 может быть записана так:
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
.
(2)
Для того чтобы придать элементу 𝑑𝑆 определённый смысл, предположим, что в каждой точке поверхности значения координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 заданы как функции двух независимых переменных α и β. Если β постоянна, а α изменяется, точка (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет описывать некоторую кривую на поверхности, и если перебрать целый ряд значений β, то будет прочерчена серия таких кривых, полностью лежащих на поверхности 𝑆. Подобным же образом, перебирая последовательность постоянных α, можно нанести вторую серию кривых, пересекающихся с кривыми первой серии и разделяющих всю поверхность на элементарные участки, любой из которых может быть взят за элемент 𝑑𝑆.
Проекция этого элемента на плоскость 𝑦𝑧 согласно обычным формулам, равна
𝑙𝑑𝑆
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑α
𝑑𝑧
𝑑β
-
𝑑𝑦
𝑑β
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
𝑑β
𝑑α
.
(3)
Выражения для 𝑚𝑑𝑆 и 𝑛𝑑𝑆 получаются отсюда путём перестановки 𝑥, 𝑦, 𝑧 в циклическом порядке.
Поверхностный интеграл, который мы должны найти, есть
∬
(
𝑙ξ
+
𝑚η
+
𝑛ζ
)
𝑑𝑆
,
(4)
или, выражая ξ, η, ζ через 𝑋, 𝑌, 𝑍
∬
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑𝑋
𝑑𝑧
-𝑛
𝑑𝑋
𝑑𝑦
+𝑛
𝑑𝑌
𝑑𝑥
-𝑙
𝑑𝑌
𝑑𝑧
+𝑙
𝑑𝑍
𝑑𝑦
-𝑚
𝑑𝑍
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
.
(5)
Часть этого интеграла, зависящая от 𝑋, может быть записана так:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑋
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
-
𝑑𝑧
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
𝑑𝑋
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑦
𝑑β
-
𝑑𝑥
𝑑β
𝑑𝑦
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
.
(6)
После добавления и вычитания величины
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
это выражение становится таким:
∬
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑥
𝑑β
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑α
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
-
𝑑𝑥
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑β
+
𝑑𝑋
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑β
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑β
𝑑α
;
(7)
=
∬
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑α
𝑑𝑥
𝑑β
-
𝑑𝑋
𝑑β
𝑑𝑥
𝑑α
⎞
⎟
