Для того чтобы определить величину 𝑄, заметим, что если 𝑋'1 есть новое значение величины 𝑋1 то, с учётом (13),
𝑋'
1
=
𝑋
1
+
4π𝑘
1
𝑄
.
(20)
Отсюда, с учётом (10), полагая 𝐸0, получаем
0
=
𝑎
1
𝑋
1
+ и т.д.+
4π
(𝑎
1
𝑘
1
+𝑎
2
𝑘
2
+ и т.д.)
𝑄
,
(21)
или
0
=
𝐸
0
+
1
𝐶
𝑄
.
(22)
Отсюда 𝑄=-𝐶𝐸0, где 𝐶 - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.
Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь 𝑢=0, так что, согласно уравнению (8),
𝑋
1
=
𝑋'
1
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
,
(23)
где 𝑋'1 есть начальное значение после разряда.
Отсюда для любого момента 𝑡 получаем, с учётом (23) и (20):
𝑋
1
=
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
𝑟1
𝑅
-
4π𝑘
1
𝐶
⎫
⎬
⎭
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
.
Поэтому значение 𝐸 в любой момент равно
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑎1𝑟1
𝑅
-
4π𝑎
1
𝑘
1
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑎2𝑟2
𝑅
-
4π𝑎
2
𝑘
2
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘2
𝑟2
⎞
⎟
⎠
𝑡
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
,
(24)
и мгновенный заряд по истечении любого времени 𝑡 равен 𝐸𝐶. Эта величина и называется остаточным разрядом.
Если отношение 𝑟/𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина 𝐸 сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.
Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при 𝑡=0 имеем 𝐸=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях 𝑡. Таким образом, при положительных 𝑡 величина 𝐸 также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.
Если время 𝑡 бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина 𝑟1 бесконечна, значение 𝑅 для всей системы также становится бесконечным и значение 𝐸 в конце равно не нулю, а
𝐸
=
𝐸
0
(1-4π𝑎
1
𝑘
1
𝐶)
.
(25)
Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.
330. Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением 𝑅0, соединённый всё время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы 𝐸0.
Для любого момента времени мы имеем
𝐸
=
𝑎
1
𝑟
1
𝑝
1
+
𝑎
2
𝑟
2
𝑝
2
+ и т.д.+
𝑅
0
𝑢
=
0,
(26)
кроме того, с учётом (3),
𝑢
=
𝑝
1
+
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
.
(27)
Отсюда
(𝑅+𝑅
0
)
𝑢
=
𝑎
1
𝑟
1
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
+
𝑎
2
𝑟
2
𝑑ƒ2
𝑑𝑡
+ и т.д.
(28)
Интегрируя по 𝑡, для того чтобы найти 𝑄, получаем
(𝑅+𝑅
0
)
𝑄
=
𝑎
1
𝑟
1
(ƒ'
1
-ƒ
1
)
+
𝑎
2
𝑟
2
(ƒ'
2
-ƒ
2
)
+ и т.д.,
(29)
где ƒ1 - начальное, а ƒ'1 - конечное значения величины ƒ1.
В нашем случае ƒ'1=0, и с учётом (2) и (20) имеем
ƒ
1
=
𝐸
0
⎛
⎜
⎝
𝑟1
4π𝑘1𝑅
-
𝐶
⎞
⎟
⎠
.
Отсюда
(𝑅+𝑅
0
)
𝑄
=
-
𝐸
4π𝑅
⎛
⎜
⎝
𝑎1𝑟1²
𝑘1
+
𝑎2𝑟2²
𝑘2
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
+
𝐸
0
𝐶𝑅
,
(30)
=
-
𝐶𝐸0
𝑅
∑∑
⎡
⎢
⎣
𝑎
1
𝑎
2
𝑘
1
𝑘
2
⎛
⎜
⎝
𝑟1
𝑘1
-
𝑟2
𝑘2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(31)
где суммирование проводится по всем выражениям этого вида, относящимся к каждой паре слоёв.
