𝑑ƒ1
𝑑𝑡
(3)
и аналогичные уравнения для других слоёв, в каждом из которых соответствующие величины имеют индекс, принадлежащий данному слою.
Для определения поверхностной плотности на каждом слое мы имеем уравнение вида
σ
12
=
ƒ
2
-ƒ
1
,
(4)
а для определения её изменения имеем
𝑑σ12
𝑑𝑡
=
𝑝
1
-𝑝
2
.
(5)
Дифференцируя (4) по 𝑡 и приравнивая результат к (5), мы получим
𝑝
1
+
𝑑ƒ1
𝑑𝑡
=
𝑝
2
+
𝑑ƒ2
𝑑𝑡
=
𝑢
,
(6)
или, учитывая (3),
𝑢
1
=
𝑢
2
= и т.д. =
𝑢
.
(7)
Это означает, что полный ток 𝑢 имеет одно и то же значение для всех слоёв и равен току, идущему через провод и батарею.
В силу уравнений (1) и (2) имеем также
𝑢
=
1
𝑟1
𝑋
1
+
1
4π𝑘1
𝑑𝑋1
𝑑𝑡
,
(8)
откуда, произведя над 𝑢 обратную операцию, получим 𝑋1:
𝑋
1
=
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘1
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
𝑢
.
(9)
Полная электродвижущая сила 𝐸 равна
𝐸
=
𝑎
1
𝑋
1
+
𝑎
2
𝑋
2
+ и т.д.,
(10)
или
𝐸
=
⎧
⎨
⎩
𝑎
1
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘1
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
+
𝑎
2
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
+
1
4π𝑘2
𝑑
𝑑𝑡
⎞-1
⎟
⎠
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
𝑢
.
(11)
Уравнение (11) даёт соотношение между внешней электродвижущей силой 𝐸 и внешним током 𝑢.
Если отношение 𝑟 к 𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, уравнение сводится к
𝐸
+
𝑟
4π𝑘
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
(𝑎
1
𝑟
1
+𝑎
2
𝑟
2
+ и т.д.)
𝑢
.
(12)
Это - тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.
Если имеется 𝑛 веществ с различными значениями отношения 𝑟/𝑘, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным уравнением n-го порядка по отношению 𝐸 и (𝑛-1)-го порядка по отношению к 𝑢, причём независимой переменной является 𝑡.
Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.
329. Теперь предположим, что сначала ƒ1, ƒ2 и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила 𝐸0 внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.
Интегрируя (8) по времени, мы находим
𝑄
=
∫
𝑢
𝑑𝑡
=
1
𝑟1
∫
𝑋
1
𝑑𝑡
+
1
4π𝑘1
𝑋
1
+ const,
(13)
Но, поскольку величина 𝑋1 в этом случае всегда конечна, ∫𝑋1𝑑𝑡 представляет собой неощутимо малую величину, если 𝑡 есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина 𝑋1 первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет
𝑋
1
=
4π𝑘
1
𝑄
1
.
(14)
Отсюда, согласно уравнению (10),
𝐸
0
=
4π
(𝑘
1
𝑎
1
+𝑘
2
𝑎
2
+ и т.д.)
𝑄
,
(15)
и если 𝐶 - электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то
𝐶
=
𝑄
𝐸0
=
1
4π(𝑘1𝑎1+𝑘2𝑎2+ и т.д.)
.
(16)
Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.
Предположим далее, что электродвижущая сила 𝐸0 остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный 𝑝.
Мы тогда имеем 𝑋1=𝑟1𝑝 и т. д., и поэтому, с учётом (10),
𝐸
0
=
(𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.)
𝑝
.
(17)
Если 𝑅 - полное сопротивление системы, то
𝑅
=
𝐸0
𝑝
=
𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.
(18)
В этом состоянии из (2) имеем
ƒ
1
=
𝑟1
4π𝑘1
𝑝
,
так что
σ
12
=
⎛
⎜
⎝
𝑟2
4π𝑘2
-
𝑟1
4π𝑘1
⎞
⎟
⎠
𝑝
.
(19)
Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение 𝐸 быстро изменится от начального значения 𝐸0 до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества 𝑄.
