320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин 𝑃 или 𝑝 будет равно значению соответствующей величины 𝑄 или 𝑞. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также 𝑝1=𝑞1, 𝑝2=𝑞2, 𝑝3=𝑞3.
Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.
321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются главными осями, тогда коэффициенты 𝑝 и 𝑞 исчезают и
𝑟
1
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'1
𝑐+𝑐'
,
𝑟
2
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'2
𝑐+𝑐'
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
(𝑐/𝑟1)+(𝑐'/𝑟'1)
.
Если мы начнём со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные проводимости 𝑟 и 𝑟', то, поскольку
𝑟
1
-
𝑟
3
=
𝑐𝑐'
𝑐+𝑐'
⋅
(𝑟-𝑟')²
(𝑐𝑟'+𝑐'𝑟)
,
разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.
322. Возьмём изотропную среду проводимости 𝑟, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной 𝑎 и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна 𝑠, а толщина 𝑘1𝑎.
Пусть эти слои будут нормальны к оси 𝑥. Затем разобьём этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины 𝑏, перпендикулярные оси 𝑦, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘2𝑏.
Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины 𝑐, перпендикулярные к оси 𝑧, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘3𝑐.
В результате этих трёх операций вещество проводимости 𝑟 разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём размер 𝑏 крайне мал по сравнению с 𝑐 и размер 𝑎 крайне мал по сравнению с 𝑏. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью 𝑠, так что они отдалены друг от друга на расстояния 𝑘1𝑎 вдоль оси 𝑥, 𝑘2𝑏 - в направлении оси 𝑦 и 𝑘3𝑐 - в направлении оси 𝑧. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.
При этом мы получим
𝑟
1
=
{1+𝑘
1
(1+𝑘
2
)(1+𝑘
3
)}𝑟
+
(𝑘
2
+𝑘
3
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
(1+𝑘2)(1+𝑘3)(𝑘1𝑟+𝑠)
𝑠
,
𝑟
2
=
(1+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑟
+
(𝑘
1
+𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)
𝑠
,
(1+𝑘3){𝑘2𝑟+(1+𝑘1+𝑘1𝑘2)𝑠}
𝑠
,
𝑟
3
=
(1+𝑘3)(𝑟+(𝑘1+𝑘2+𝑘1𝑘2)𝑠)
𝑘
1
𝑟
+
(1+𝑘
1
+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
+𝑘
3
𝑘
1
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
𝑠
.
Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепипедов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на рёбрах и в вершинах. Если мы положим каждую из величин 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 равной единице, то получим
𝑟
1
=
5𝑟+3𝑠
4𝑟+4𝑠
𝑠
,
𝑟
2
=
3𝑟+5𝑠
2𝑟+6𝑠
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑟+6𝑠
𝑟+7𝑠
.
Если 𝑟=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то
𝑟
1
=
3
4
𝑠
,
𝑟
2
=
5
6
𝑠
,
𝑟
3
=
6
7
𝑠
.
Если 𝑟=∞, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,
𝑟
1
=
5
4
𝑠
,
𝑟
2
=
3
2
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑠
.
В любом случае, если 𝑘1=𝑘2=𝑘3, можно показать, что 𝑟1, 𝑟2 и 𝑟3, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление - в направлении наименьших размеров.
323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.
Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны 𝑎, 𝑏 и 𝑐, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (𝑎𝑏𝑐), равна 𝑎𝑏𝑐𝐾.
Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна 𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍, и если ток вдоль канала равен 𝐶' то 𝐶'=𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍).
Ток, идущий через грань параллелепипеда 𝑏𝑐 равен 𝑏𝑐𝑢, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или
𝑏𝑐𝑢
=
𝑏𝑐
(𝑟
1
𝑋+𝑝
1
𝑌+𝑞
1
𝑍)
+
𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍)
,
или
𝑢
=
(𝑟
1
+𝐾𝑎²)𝑋
+
(𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏)𝑌
+
(𝑞
2
+𝐾𝑏𝑎)𝑍
.
Таким же путём мы можем найти значения 𝑣 и 𝑤. Коэффициенты проводимости с учётом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид
𝑟
1
+𝐾𝑎²,
𝑟
2
+𝐾𝑏²,
𝑟
3
+𝐾𝑐²,
𝑝
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑝
1
