𝐼
=
𝑘2-𝑘1
𝑘2+𝑘1
𝐸
,
𝐸'
=
2𝑘2
𝑘1+𝑘2
.
(11)
Для поверхности, проходящей через 𝐵, находим
𝐼'
1
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
𝐸'
,
𝐸''
=
2𝑘3
𝑘2+𝑘3
𝐸'
.
(12)
Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через 𝐴,
𝐽'
1
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
𝐼'
1
,
𝐼
1
=
2𝑘1
𝑘1+𝑘2
𝐼'
1
,
(13)
и для поверхности, проходящей через 𝐵,
𝐼'
2
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
𝐽'
1
,
𝐽
1
=
2𝑘3
𝑘3+𝑘2
𝐽'
1
.
(14)
Если мы обозначим
ρ
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
и
ρ'
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
,
то найдём для потенциала в первой среде
𝑉
=
𝐸
𝑃𝑆
-
ρ
𝐸
𝑃𝐼
+
(1-ρ²)ρ'
𝐸
𝑃𝐼1
+
ρ'(1-ρ²)ρρ'
𝐸
𝑃𝐼2
+ и т.д +
+
ρ'(1-ρ²)(ρρ')
𝑛-1
𝐸
𝑃𝐼𝑛
+
.
(15)
Для потенциала в третьей среде мы найдём
𝑉
=
(1+ρ')(1-ρ)
𝐸
⎧
⎨
⎩
1
𝑃𝑆
+
ρρ'
𝑃𝐽1
+ и т.д. +
(ρρ')𝑛
𝑃𝐽𝑛
+…
⎫
⎬
⎭
.
(16)
Если первая среда такая же, как третья, то 𝑘1=𝑘3, ρ=ρ', и потенциал по другую сторону пластины будет равен
𝑉
=
(1-ρ²)
𝐸
⎧
⎨
⎩
1
𝑃𝑆
+
ρ²
𝑃𝐽1
+ и т.д. +
ρ2𝑛
𝑃𝐽𝑛
+…
⎫
⎬
⎭
.
(17)
Если пластина является намного более хорошим проводником, чем остальная среда, величина ρ очень близка к 1. Если среда является почти идеальным изолятором, величина ρ очень близка к -1, а если проводимость пластины мало отличается от проводимости среды, ρ есть малая величина, положительная или отрицательная.
Эта задача была впервые поставлена Грином в его работе «Теория магнитной индукции» (Essay, р. 65). Его результат, однако, верен только в случае, когда величина ρ почти равна единице 2. Величина 𝑔, которую использует Грин, связана с ρ уравнениями
𝑔
=
2ρ
3-ρ
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+2𝑘2
,
ρ
=
3𝑔
2+𝑔
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
.
2 См. сэр У. Томсон «О наведённом магнетизме в пластине», Camb. and Dub. Math. Journal, Nov., 1845 или Reprint, art. IX, § 156.
Если мы положим ρ=2π𝑘/(1+2π𝑘), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведённой магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения k.
О слоистых проводниках
319. Пусть проводник составлен из чередующихся слоёв с толщинами 𝑐 и 𝑐' из двух веществ с различными коэффициентами проводимости. Требуется определить коэффициенты сопротивления и проводимости у составного проводника.
Будем считать, что плоскости слоёв нормальны к оси 𝑧. Будем помечать штрихом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, относящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, 𝑋. Тогда
𝑋
=
𝑋
=
𝑋',
(𝑐+𝑐')
𝑢
=
𝑐𝑢+𝑐'𝑢',
𝑌
=
𝑌
=
𝑌',
(𝑐+𝑐')
𝑣
=
𝑐𝑣+𝑐'𝑣',
(𝑐+𝑐')
𝑍
=
𝑐𝑍+𝑐'𝑍',
𝑤
=𝑤
=
𝑤',
Сначала мы должны определить 𝑢, 𝑢', 𝑣, 𝑣', 𝑍 и 𝑍' через 𝑋, 𝑌, и 𝑤 из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через 𝐷 детерминант, составленный из коэффициентов сопротивления, мы найдём
𝑢𝑟
3
𝐷
=
𝑅
2
𝑋
-
𝑄
3
𝑌
+
𝑤
𝑞
2
𝐷,
𝑣𝑟
3
𝐷
=
𝑅
1
𝑌
-
𝑃
3
𝑋
+
𝑤
𝑝
1
𝐷,
𝑍𝑟
3
=
-𝑝
2
𝑋
-
𝑞
1
𝑌
+
𝑤
.
Аналогичные соотношения для штрихованных величин дают значения 𝑢', 𝑣', и 𝑍'. Выразив 𝑢, 𝑣 и 𝑤 через 𝑋, 𝑌 и 𝑍, мы можем написать уравнения проводимости для слоистого проводника. Полагая ℎ=𝑐/𝑟3 и ℎ'=𝑐'/𝑟'3, мы найдём
𝑝
₁
=
ℎ𝑝1+ℎ'𝑝'1
ℎ+ℎ'
,
𝑞
₁
=
ℎ𝑞1+ℎ'𝑞'1
ℎ+ℎ'
,
𝑝
2
=
ℎ𝑝1+ℎ'𝑝'1
ℎ+ℎ'
,
𝑞
2
=
ℎ𝑞2+ℎ'𝑞'2
ℎ+ℎ'
,
𝑝
3
=
𝑐𝑝3+𝑐'𝑝'3
𝑐+𝑐'
-
ℎℎ'(𝑞1-𝑞'1)(𝑞2-𝑞'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑞
3
=
𝑐𝑞3+𝑐'𝑞'3
𝑐+𝑐'
-
ℎℎ'(𝑝1-𝑝'1)(𝑝2-𝑝'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
1
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'1
𝑐+𝑐'
-
ℎℎ'(𝑝2-𝑝'2)(𝑞2-𝑞'2)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
2
=
𝑐𝑟2+𝑐'𝑟'2
𝑐+𝑐'
-
ℎℎ'(𝑝1-𝑝'1)(𝑞1-𝑞'1)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
ℎ+ℎ'
.
