Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (𝑘1-𝑘2)/(2𝑘1+𝑘2) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.
Приложение принципа изображений
315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии 𝑎 от этой плоской поверхности расположен источник электричества 𝑆, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно 𝑆.
Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке 𝑃 был бы направлен по 𝑆𝑃, а потенциал в 𝑃 равнялся бы 𝐸/𝑟1 где 𝐸=(𝑆𝑎)/4π, а 𝑟1=𝑆𝑃.
В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку 𝐼, изображение источника 𝑆, такую, что отрезок 𝑆𝐼 перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от 𝐼 равно 𝑟2 тогда на поверхности раздела
𝑟
1
=
𝑟
2
,
(1)
𝑑𝑟1
𝑑ν
=
-
𝑑𝑟2
𝑑ν
.
(2)
Пусть потенциал 𝑉1 в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества 𝐸, помещённым в 𝑆, и воображаемым количеством 𝐸2 в точке 𝐼, и пусть потенциал 𝑉2 в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества 𝐸1, помещённого в точке 𝑆. Тогда, если
𝑉
1
=
𝐸
𝑟1
+
𝐸2
𝑟2
и
𝑉
1
=
𝐸1
𝑟1
,
(3)
условие на поверхности 𝑉1=𝑉2 даёт
𝐸+𝐸
2
=
𝐸
1
,
(4)
а условие
1
𝑘1
𝑑𝑉1
𝑑ν
=
1
𝑘2
𝑑𝑉2
𝑑ν
(5)
даёт
1
𝑘1
(𝐸-𝐸
2
)
=
1
𝑘2
𝐸
1
,
(6)
откуда
𝐸
1
=
2𝑘2
𝑘1+𝑘2
𝐸
,
𝐸
2
=
𝑘2-𝑘1
𝑘1+𝑘2
𝐸
.
(7)
Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом 𝐸, помещённым в 𝑆, и зарядом 𝐸2, помещённым в 𝐼, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом 𝐸1 помещённым в точке 𝐼.
Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником 𝑆 и источником (𝑘2-𝑘1)𝑆/(𝑘2+𝑘1), расположенным в 𝐼, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2𝑘2𝑆/(𝑘1+𝑘2), расположенным в 𝑆, если бы вторая среда была бесконечной.
Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.
Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то 𝑘2=0 и изображение, расположенное в точке 𝐼, равно по величине и противоположно по знаку источнику в 𝑆. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.
Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то 𝑘2=∞, и изображение в точке 𝐼 равно источнику в 𝑆 и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.
316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 1.
1 См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.
Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды
317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной 𝐴𝐵 из среды с сопротивлением 𝑘2, разделяющей две среды с сопротивлениями 𝑘1 и 𝑘3, на изменение потенциала источника 𝑆, расположенного в первой среде.
Рис. 24
Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через 𝑆.
Положим
𝐴𝑆
=
𝑆𝐴
,
𝐵𝐼
1
=
𝑆𝐵
,
𝐵𝐽
1
=
𝐼
1
𝐵
,
𝐵𝐼
2
=
𝐽
1
𝐵
,
𝐵𝐽
2
=
𝐼
2
𝐴
, и т.д.
тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].
318. Потенциал в первой среде в любой точке 𝑃 равен
𝐸
𝑃𝑆
+
𝐼
𝑃𝐼
+
𝐼1
𝑃𝐼1
+
𝐼2
𝑃𝐼2
+ и т.д.
(8)
Потенциал в точке 𝑃' во второй среде равен
𝐸'
𝑃'𝑆
+
𝐼'
𝑃'𝐼
+
𝐼'1
𝑃'𝐼1
+
𝐼'2
𝑃'𝐼2
+ и т.д. +
𝐽'1
𝑃'𝐽1
+
𝐽'2
𝑃'𝐽2
+ и т.д.
(9)
и потенциал в точке 𝑃'' в третьей среде равен
𝐸''
𝑃''𝑆
+
𝐽1
𝑃''𝐽1
+
𝐽2
𝑃''𝐽2
+ и т.д.,
(10)
где 𝐼, 𝐼' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках 𝐼 и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.
Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через 𝐴, мы имеем
