Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (𝑘1-𝑘2)/(2𝑘1+𝑘2) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.

Приложение принципа изображений

315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии 𝑎 от этой плоской поверхности расположен источник электричества 𝑆, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно 𝑆.

Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке 𝑃 был бы направлен по 𝑆𝑃, а потенциал в 𝑃 равнялся бы 𝐸/𝑟1 где 𝐸=(𝑆𝑎)/4π, а 𝑟1=𝑆𝑃.

В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку 𝐼, изображение источника 𝑆, такую, что отрезок 𝑆𝐼 перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от 𝐼 равно 𝑟2 тогда на поверхности раздела

𝑟

1

=

𝑟

2

,

(1)

𝑑𝑟1

𝑑ν

=

-

𝑑𝑟2

𝑑ν

.

(2)

Пусть потенциал 𝑉1 в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества 𝐸, помещённым в 𝑆, и воображаемым количеством 𝐸2 в точке 𝐼, и пусть потенциал 𝑉2 в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества 𝐸1, помещённого в точке 𝑆. Тогда, если

𝑉

1

=

𝐸

𝑟1

+

𝐸2

𝑟2

 и

𝑉

1

=

𝐸1

𝑟1

,

(3)

условие на поверхности 𝑉1=𝑉2 даёт

𝐸+𝐸

2

=

𝐸

1

,

(4)

а условие

1

𝑘1

𝑑𝑉1

𝑑ν

=

1

𝑘2

𝑑𝑉2

𝑑ν

(5)

даёт

1

𝑘1

(𝐸-𝐸

2

)

=

1

𝑘2

𝐸

1

,

(6)

откуда

𝐸

1

=

2𝑘2

𝑘1+𝑘2

𝐸

,

𝐸

2

=

𝑘2-𝑘1

𝑘1+𝑘2

𝐸

.

(7)

Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом 𝐸, помещённым в 𝑆, и зарядом 𝐸2, помещённым в 𝐼, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом 𝐸1 помещённым в точке 𝐼.

Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником 𝑆 и источником (𝑘2-𝑘1)𝑆/(𝑘2+𝑘1), расположенным в 𝐼, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2𝑘2𝑆/(𝑘1+𝑘2), расположенным в 𝑆, если бы вторая среда была бесконечной.

Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.

Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то 𝑘2=0 и изображение, расположенное в точке 𝐼, равно по величине и противоположно по знаку источнику в 𝑆. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.

Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то 𝑘2=∞, и изображение в точке 𝐼 равно источнику в 𝑆 и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.

316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 1.

1 См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.

Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды

317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной 𝐴𝐵 из среды с сопротивлением 𝑘2, разделяющей две среды с сопротивлениями 𝑘1 и 𝑘3, на изменение потенциала источника 𝑆, расположенного в первой среде.

Трактат об электричестве и магнетизме - _26.jpg

Рис. 24

Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через 𝑆.

Положим

𝐴𝑆

=

𝑆𝐴

,

𝐵𝐼

1

=

𝑆𝐵

,

𝐵𝐽

1

=

𝐼

1

𝐵

,

𝐵𝐼

2

=

𝐽

1

𝐵

,

𝐵𝐽

2

=

𝐼

2

𝐴

, и т.д.

тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].

318. Потенциал в первой среде в любой точке 𝑃 равен

𝐸

𝑃𝑆

+

𝐼

𝑃𝐼

+

𝐼1

𝑃𝐼1

+

𝐼2

𝑃𝐼2

+ и т.д.

(8)

Потенциал в точке 𝑃' во второй среде равен

𝐸'

𝑃'𝑆

+

𝐼'

𝑃'𝐼

+

𝐼'1

𝑃'𝐼1

+

𝐼'2

𝑃'𝐼2

+ и т.д. +

𝐽'1

𝑃'𝐽1

+

𝐽'2

𝑃'𝐽2

+ и т.д.

(9)

и потенциал в точке 𝑃'' в третьей среде равен

𝐸''

𝑃''𝑆

+

𝐽1

𝑃''𝐽1

+

𝐽2

𝑃''𝐽2

+ и т.д.,

(10)

где 𝐼, 𝐼' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках 𝐼 и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.

Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через 𝐴, мы имеем

154
{"b":"603607","o":1}