+𝐾𝑐𝑎,
𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏,
𝑞
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑞
2
+𝐾𝑐𝑎,
𝑞
3
+𝐾𝑎𝑏.
В этих выражениях добавки к значениям 𝑝1 и т.д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям 𝑞1 и т. д. Следовательно, значения 𝑝1 и 𝑞1 не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объёма тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом.
324. Как построить решётку из проводников, которая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему.
Рис. 25
Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25. Обозначим координаты точек 𝑂, 𝐿, 𝑀, 𝑁 и потенциалы этих точек следующим образом:
𝑥
𝑦
𝑧
Потенциал
0
0
0
0
𝑋+𝑌+𝑍
𝐿
0
1
1
𝑋
𝑀
1
0
1
𝑌
𝑁
1
1
0
𝑍
Пусть эти четыре точки соединены шестью проводниками
𝑂𝐿
,
𝑂𝑀
,
𝑂𝑁
,
𝑀𝑁
,
𝑁𝐿
,
𝐿𝑀
,
у которых значения проводимости соответственно равны
𝐴
,
𝐵
,
𝐶
,
𝑃
,
𝑄
,
𝑅
.
Электродвижущие силы вдоль этих проводников будут равны
𝑌+𝑍
,
𝑍+𝑋
,
𝑋+𝑌
,
𝑌-𝑍
,
𝑍-𝑋
,
𝑋-𝑌
,
а токи -
𝐴(𝑌+𝑍)
,
𝐵(𝑍+𝑋)
,
𝐶(𝑋+𝑌)
,
𝑃(𝑌-𝑍)
,
𝑄(𝑍-𝑋)
,
𝑅(𝑋-𝑌)
.
Те из этих токов, которые переносят электричество в положительном направлении оси 𝑥, протекают вдоль проводников 𝐿𝑀, 𝐿𝑁, 𝑂𝑀, и 𝑂𝑁, а переносимое количество равно
𝑢
=
(𝐵+𝐶+𝑂+𝑅)
𝑋
+(𝐶-𝑅)
𝑌
+(𝐵-𝑄)
𝑍.
Подобным же образом,
𝑣
=
(𝐶-𝑅)
𝑋
+(𝐶+𝐴+𝑅+𝑃)
𝑌
+(𝐴-𝑃)
𝑍,
𝑤
=
(𝐵-𝑄)
𝑋
+(𝐴-𝑃)
𝑌
+(𝐴+𝐵+𝑃+𝑄)
𝑍.
Откуда путём сравнения с уравнениями проводимости, п. 298, находим
4𝐴
=
𝑟
2
+𝑟
3
-𝑟
1
+2𝑝
1
,
4𝑃
=
𝑟
2
+𝑟
3
-𝑟
1
-2𝑝
1
4𝐵
=
𝑟
3
+𝑟
1
-𝑟
2
+2𝑝
2
,
4𝑄
=
𝑟
3
+𝑟
1
-𝑟
2
-2𝑝
2
4𝐶
=
𝑟
1
+𝑟
2
-𝑟
3
+2𝑝
3
,
4𝑅
=
𝑟
1
+𝑟
2
-𝑟
3
-2𝑝
3
ГЛАВА X
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА В ДИЭЛЕКТРИКАХ
325. Мы видели, что, когда электродвижущая сила действует на диэлектрическую среду, она производит в среде состояние, которое мы назвали электрической поляризацией и которое мы описали как электрическое смещение внутри среды в направлении, в изотропной среде совпадающем с направлением электродвижущей силы, сопровождаемое появлением поверхностного заряда на каждом из элементов объёма, на которые, как мы можем предположить, разбит диэлектрик. Поверхностный заряд положителен на той стороне, по направлению к которой действует электродвижущая сила, и отрицателен на той стороне, от которой она действует.
Если электродвижущая сила действует на проводящую среду, она также производит то, что называется электрическим током.
Но диэлектрические среды, за очень немногими исключениями, если такие исключения вообще имеются, являются также более или менее несовершенными проводниками, и многие среды, которые не представляют собой хороших изоляторов, обнаруживают явления диэлектрической индукции. Таким образом, мы приходим к необходимости изучать такое состояние среды, в котором одновременно имеют место индукция и прохождение электричества.
Для простоты мы будем предполагать, что среда изотропна в каждой точке, но не обязательно однородна в различных точках. В этом случае уравнение Пуассона, согласно п. 83, становится таким:
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+4πρ
=
0,
(1)
где 𝐾 - «удельная индуктивная способность».
«Уравнение непрерывности» для электрического тока будет
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
-
𝑑ρ
𝑑𝑡
=
0,
(2)
где 𝑟 - удельное сопротивление на единицу объёма.
Если функции 𝐾 или 𝑟 имеют разрывы, эти уравнения нужно преобразовать в такие, которые будут удобны для рассмотрения поверхностей разрыва.
В строго однородной среде обе величины 𝑟 и 𝐾 являются постоянными, так что мы находим
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
=
-4π
ρ
𝐾
=
𝑟
𝑑ρ
𝑑𝑡
,
(3)
откуда
