𝑉
1
=
𝑉
2
,
(1)
и если 𝑢1, 𝑣1, 𝑤1 и 𝑢2, 𝑣2, 𝑤2 - составляющие токов в этих двух средах, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то
𝑢
1
𝑙
+
𝑣
1
𝑚
+
𝑤
1
𝑛
=
𝑢
2
𝑙
+
𝑣
2
𝑚
+
𝑤
2
𝑛
.
(2)
В самом общем случае составляющие 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются линейными функциями производных потенциала 𝑉; вид этих линейных функций определяется уравнениями
𝑢
=
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑣
=
𝑞
3
𝑋
+
𝑟
2
𝑌
+
𝑝
1
𝑍
,
𝑤
=
𝑝
2
𝑋
+
𝑞
1
𝑌
+
𝑟
3
𝑍
,
(3)
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - производные функции 𝑉 соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный 𝑟.
Обозначим значения 𝑋, 𝑌, 𝑍 в изотропной среде через 𝑋', 𝑌', 𝑍' тогда на поверхности имеем
𝑉
=
𝑉'
,
(4)
или
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
𝑋'𝑑𝑥
+
𝑌'𝑑𝑦
+
𝑍'𝑑𝑧
,
(5)
если
𝑙𝑑𝑥
+
𝑚𝑑𝑦
+
𝑛𝑑𝑧
=
0.
(6)
Это условие приводит к
𝑋'
=
𝑋
+
4πσ𝑙
,
𝑌'
=
𝑌
+
4πσ𝑚
,
𝑍'
=
𝑍
+
4πσ𝑛
,
(7)
где σ - поверхностная плотность.
В изотропной среде имеем также
𝑢'
=
𝑟𝑋'
,
𝑣'
=
𝑟𝑌'
,
𝑤'
=
𝑟𝑍'
,
(8)
и условие на границе для тока таково:
𝑢'𝑙
+
𝑣'𝑚
+
𝑤'𝑛
=
𝑢𝑙
+
𝑣𝑚
+
𝑤𝑛
,
(9)
или
𝑟
(
𝑙𝑋
+
𝑚𝑌
+
𝑛𝑍
+
4πσ
)
=
𝑙
(
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
)
+
+
𝑚
(
𝑞
3
𝑋
+
𝑟
2
𝑌
+
𝑝
1
𝑍
)
+
𝑛
(
𝑝
2
𝑋
+
𝑞
1
𝑌
+
𝑟
3
𝑍
)
,
(10)
откуда
4πσ𝑟
=
{
𝑙(𝑟
1
-𝑟)
+
𝑚𝑞
3
+
𝑛𝑝
2
}
𝑋
+
{
𝑙𝑝
3
+
𝑚(𝑟
2
-𝑟)
+
𝑛𝑞
1
}
𝑌
+
+
{
𝑙𝑞
2
+
𝑚𝑝
1
+
𝑛(𝑟
3
-𝑟)
}
𝑍
.
(11)
Величина а представляет собой поверхностную плотность заряда на поверхности раздела. В кристаллизованных и упорядоченных веществах эта величина зависит от направления поверхности, а так же и от перпендикулярной к ней силы. В изотропных веществах коэффициенты 𝑝 и 𝑞 равны нулю, а все коэффициенты 𝑟 равны между собой, и, таким образом,
4πσ
=
⎛
⎜
⎝
𝑟1
𝑟
-1
⎞
⎟
⎠
(
𝑙𝑋
+
𝑚𝑌
+
𝑛𝑍
).
(12)
где 𝑟1 - проводимость рассматриваемого вещества, 𝑟 - проводимость внешней среды, а 𝑙, 𝑚, 𝑛, - направляющие косинусы нормали, проведённой в ту среду, проводимость которой равна 𝑟.
В случае, когда обе среды изотропны, эти условия можно значительно упростить, ибо если 𝑘 есть удельное сопротивление единицы объёма, то
𝑢
=-
1
𝑘
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
𝑣
=-
1
𝑘
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
𝑤
=-
1
𝑘
𝑑𝑉
𝑑𝑧
,
(13)
и если v есть нормаль, проведённая из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть
1
𝑑𝑉
1
=
1
𝑑𝑉
1
.
𝑘
1
𝑑ν
𝑘
2
𝑑ν
(14)
Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно θ1 и θ2, то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и
𝑘
1
tg θ
1
=
𝑘
2
tg θ
2
.
(15)
Это соотношение можно назвать законом преломления линий тока.
311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает границу раздела двух сред, рассмотрим сферическую поверхность радиуса 𝑎, при этом внутри сферы удельное сопротивление равно 𝑘1 а снаружи 𝑘2.
Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники 𝑆𝑖 равны
𝑉
1
=
(
𝐴
1
𝑟
𝑖
+
𝐵
1
𝑟
-(𝑖+1)
)
𝑆
𝑖
,
(1)
𝑉
2
=
(
𝐴
2
𝑟
