4 Lord Rayleigh, Theory of Sound, vol. II, p. 171.
308. Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса 𝑎, когда его конец находится в металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла.
Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещённого в бесконечную среду (см. п. 151, 177).
Если 𝐸 - разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, 𝐶 - ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ρ' - удельное сопротивление электрода и если 𝑄 - количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен
ρ'𝐶
=
1
4
4π𝑄
=
2π
𝑎𝐸
(π/2)
, в силу п. 151,
=
4𝑎𝐸.
(18)
Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна 𝐿 и его удельное сопротивление равно ρ, то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой
𝑅
=
ρ
𝐿
π𝑎²
+
ρ
4𝑎
,
и это можно записать так:
𝑅
=
ρ
π𝑎²
⎛
⎜
⎝
𝐿
+
ρ'
ρ
⋅
π𝑎
4
⎞
⎟
⎠
,
(19)
где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.
Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.
309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.
Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно 𝐶/(π𝑎²), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда σ, где
2πσ
=
𝐶ρ'
π𝑎²
,
(20)
а ρ' - удельное сопротивление.
Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью σ.
Потенциал 5 на краю диска с однородной плотностью σ легко определяется и равен 4𝑎σ. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной 𝑑𝑎 вдоль окружности диска, равна 2π𝑎σ𝑑𝑎⋅4𝑎σ, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,
или 𝑃
=
8π
3
𝑎³
σ²
.
(21)
5 См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.
При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением 𝑅' равна 𝐶𝑅'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/ρ')(𝑑𝑉/𝑑ν) или (2π/ρ')σ.
-
1
ρ'
𝑑𝑉
𝑑ν
или
2π
ρ'
σ
.
Если 𝑉 - потенциал на диске, а 𝑑𝑠 - элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна
=
𝐶
π𝑎²
∫
𝑉
𝑑𝑠
=
2𝐶
π𝑎²
𝑃
σ
, поскольку 𝑃
=
1
2
∫
𝑉σ
𝑑𝑠
,
=
4π
ρ'
𝑃 (по формуле(20))
.
Таким образом, мы получаем
𝐶²
𝑅'
=
4π
ρ'
𝑃
,
(22)
откуда с учётом (20) и (21)
𝑅'
=
8ρ'
3π²𝑎
,
и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна
ρ'
ρ
8
3π
𝑎
,
причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна (ρ'/ρ)𝑎𝑛, где 𝑛 - число, лежащее между π/4 и 8/3π или между 0,785 и 0,849.
Лорд Рэлей 6 во втором приближении уменьшил верхний предел для 𝑛 до 0,8282.
6Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).
ГЛАВА IX
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами
310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.
На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.
Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.
Таким образом, если 𝑉1 и 𝑉2 обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела
