Сопротивление 𝑅 проводника в его естественном состоянии будет больше, чем полученное таким способом значение, если только все поверхности, которые мы выбрали, не являются естественными эквипотенциальными поверхностями. Кроме того, поскольку истинное значение 𝑅 есть абсолютный максимум значений 𝑅1, который может быть таким способом получен, небольшие отклонения выбранных поверхностей от истинных эквипотенциальных поверхностей приведут к ошибке в значении 𝑅, которая является относительно малой.
Очевидно, что этот метод, определяющий нижнюю границу величины сопротивления, является совершенно общим и может быть применён к проводникам любой формы даже в том случае, если удельное сопротивление ρ произвольным образом меняется внутри проводника.
Наиболее знакомый пример - обычный метод определения сопротивления прямого провода переменного сечения. В этом случае выбранные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными к оси проволоки, торцы слоёв параллельны и сопротивление слоя, имеющего сечение 𝑆 и толщину 𝑑𝑠, равно
𝑑𝑅
1
=
ρ𝑑𝑠
𝑆
,
(7)
а сопротивление всего провода длиной 𝑠 равно
𝑅
1
=
∫
ρ𝑑𝑠
𝑆
,
(8)
где 𝑆 есть поперечное сечение, зависящее от 𝑠.
Этот метод даёт результаты, очень близкие к истине, для проводов с медленно меняющимся по длине сечением. Но в действительности он даёт только нижнюю границу, потому что истинное сопротивление всегда больше, за исключением случаев, когда сечение совершенно однородно.
307. Чтобы найти верхнюю границу сопротивления, предположим, что в проводнике проведена некоторая поверхность, которая сделана непроницаемой для электричества. Это должно увеличить сопротивление проводника, если только эта поверхность не является одной из естественных поверхностей тока. С помощью двух систем поверхностей мы можем создать набор трубок, которые будут полностью регулировать ток, и это приведёт к тому (если это вообще к чему-нибудь приведёт), что эта система непроницаемых поверхностей должна будет сделать сопротивление больше его естественного значения.
Сопротивление каждой из трубок может быть вычислено с помощью метода, уже приведённого для тонких проводов, и сопротивление всего проводника равно обратной величине от суммы обратных сопротивлений всех трубок. Найденное таким образом сопротивление больше, чем естественное сопротивление, за исключением того случая, когда трубки следуют естественным линиям тока.
В уже рассмотренном случае, когда проводник представляет собой вытянутое тело вращения, будем измерять 𝑥 вдоль оси и обозначим через 𝑏 радиус сечения в каждой точке. Пусть один набор непроницаемых поверхностей состоит из плоскостей, проходящих через ось, для каждой из которых значение φ постоянно, и пусть другой набор состоит из поверхностей вращения, для которых
𝑦²
=
ψ𝑏²
,
(9)
где ψ есть число в промежутке между 0 и 1.
Рассмотрим часть одной из трубок, ограниченную поверхностями φ и φ+𝑑φ, ψ и ψ+𝑑ψ, 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.
Сечение трубки, выбранное перпендикулярно оси, равно
𝑦
𝑑𝑦
𝑑ψ
=
½𝑏²
𝑑ψ
𝑑φ
.
(10)
Если обозначить через θ угол, который трубка составляет с осью, то
tg θ
=
ψ
½
𝑑𝑏
𝑑𝑥
.
(11)
Истинная длина элемента трубки равна 𝑑𝑥 sec θ а истинное сечение равно ½𝑏𝑑ψ𝑑φ cos θ, так что сопротивление этого элемента равно
2ρ
𝑑𝑥
𝑏²𝑑ψ𝑑φ
sec²θ
=
2ρ
𝑑𝑥
𝑏²𝑑ψ𝑑φ
⎡
⎢
⎣
1+ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑏
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(12)
Пусть
𝐴
=
∫
ρ
𝑏²
𝑑𝑥
,
𝐵
=
∫
ρ
𝑏²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑏
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
𝑑𝑥
,
(13)
где интегрирование распространяется на всю длину 𝑥 проводника. Тогда сопротивление трубки 𝑑ψ𝑑φ равно
2
𝑑ψ𝑑φ
(𝐴+ψ𝐵)
,
а её проводимость есть
𝑑ψ𝑑φ
2(𝐴+ψ𝐵)
.
Чтобы найти проводимость всего проводника, которая равна сумме проводимостей отдельных трубок, мы должны проинтегрировать это выражение в пределах от φ=0 до φ=2π и от ψ=0 до ψ=2π. В результате
1
𝑅'
=
π
𝐵
ln
⎛
⎜
⎝
1+
𝐵
𝐴
⎞
⎟
⎠
.
(14)
Эта величина может быть меньше, но не может быть больше, чем истинная проводимость проводника.
В случае, когда 𝑑𝑏/𝑑𝑥 всегда является малой величиной, отношение 𝐵/𝐴 также будет малым, и мы можем разложить выражение для проводимости таким образом:
1
𝑅'
=
π
𝐴
⎛
⎜
⎝
1-
1
2
𝐵
𝐴
+
1
3
𝐵²
𝐴²
-
1
4
𝐵³
𝐴³
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
.
(15)
Первый член этого разложения π/𝐴 есть та величина, которую мы получили бы предыдущим методом как верхнюю границу проводимости. Таким образом, истинная проводимость оказывается меньше первого члена, но больше всего ряда. Верхнее значение сопротивления есть величина, обратная этой, т. е.
𝑅'
=
𝐴
π
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
𝐵
𝐴
-
1
12
𝐵
𝐴
+
1
24
𝐵
𝐴
- и т.д.
⎞
⎟
⎠
.
(16)
Если, кроме предположения о том, что ток направляется поверхностями φ и ψ, мы бы предположили, что ток через каждую трубку пропорционален 𝑑ψ𝑑φ, мы бы получили следующее выражение для величины сопротивления при этом добавочном ограничении:
𝑅''
=
1
π
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
𝐶
⎞
⎟
⎠
,
(17)
что очевидно превышает предыдущее значение, как это и должно быть ввиду наложенного добавочного предположения. В работе лорда Рэлея 4 сделано именно такое предположение, и приведённая там верхняя граница для сопротивления имеет значение (17), что несколько превышает величину, полученную нами в (16).
