𝑖
+
𝐵
2
𝑟
-(𝑖+1)
)
𝑆
𝑖
,
(2)
соответственно внутри и вне сферы.
На поверхности раздела, где 𝑟=𝑎, мы должны иметь
𝑉
1
=
𝑉
2
и
1
𝑑𝑉
1
=
1
𝑑𝑉
1
.
𝑘
1
𝑑𝑟
𝑘
2
𝑑𝑟
(3)
Из этих условий мы получаем уравнения
(𝐴
1
-𝐴
2
)
𝑎
2𝑖+1
+
𝐵
1
-𝐵
2
=
0,
⎛
⎜
⎝
1
𝑘1
𝐴
1
-
1
𝑘2
𝐴
2
⎞
⎟
⎠
𝑖𝑎
2𝑖+1
-
⎛
⎜
⎝
1
𝑘1
𝐵
1
-
1
𝑘2
𝐵
2
⎞
⎟
⎠
(𝑖+1)
=
0.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(4)
Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1, 𝐵2, достаточны для определения двух других величин.
Предположим, что 𝐴1 и 𝐵1 известны, тогда для 𝐴2 и 𝐵2 мы получим следующие выражения:
𝐴
2
=
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
}𝐴
1
+
(𝑘
1
-𝑘
2
)
(𝑖+1)
𝐵
1
𝑎
-(2𝑘+1)
,
𝑘
1
(2𝑖+1)
𝐵
2
=
(𝑘
1
-𝑘
2
)
𝑖𝐴
1
𝑎
2𝑘+1
+
{𝑘
1
𝑖+𝑘
2
(𝑖+1)}𝐵
1
.
𝑘
1
(2𝑖+1)
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(5)
Таким путём мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоёв, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.
312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен 𝑎1 и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса 𝑎2, вне которой удельное сопротивление равно 𝑘3. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал 𝑉 не принимает бесконечных значений, и мы имеем 𝐵1=0.
Тогда для 𝐴3 и 𝐵3, коэффициентов во внешней среде, мы находим
𝐴
3
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
=
⎡
⎢
⎣
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖}
{𝑘
2
(𝑖+1)+𝑘
3
𝑖}
+
+
𝑖(𝑖+1)
(𝑘
1
-𝑘
2
)
(𝑘
2
-𝑘
3
)
⎛
⎜
⎝
𝑎1
𝑎2
⎞2𝑖+1
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝐴
1
,
𝐵
3
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
=
⎡
⎣
𝑖(𝑘
2
-𝑘
3
)
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖}
𝑎
2
2𝑖+1
+
+
𝑖(𝑘
1
-𝑘
2
)
{𝑘
2
𝑖+𝑘
3
(𝑖+1)}
𝑎
1
2𝑖+1
⎤
⎦
𝐴
1
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(6)
Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.
Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы.
Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть 𝐴3 - коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид 𝐴3𝑆𝑖𝑟𝑖. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент 𝐴1 для внутренней сферы и отсюда вывести 𝐴2, 𝐵2 и 𝐶3. При этом 𝐶3 представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы.
Предположим теперь, что 𝑘3=𝑘1, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой 𝑘=𝑘2, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой 𝑘=𝑘1.
Если мы положим
𝐶
=
1
,
(2𝑖+1)²𝑘
1
𝑘
2
+
𝑖(𝑖+1)(𝑘
2
-𝑘
1
)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎛
⎜
⎝
𝑎
1
⎞
⎟
⎠
2𝑖+1
⎞
⎟
⎠
𝑎
2
то
𝐴
1
=
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
𝐶𝐴
3
,
𝐴
2
=
𝑘
2
(2𝑖+1)
(𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖)
𝐶𝐴
3
,
𝐵
2
=
𝑘
2
𝑖
(2𝑖+1)
(𝑘
1
-𝑘
2
)
𝑎
1
2𝑖+1
𝐶𝐴
3
,
𝐵
3
=
𝑖(𝑘
2
-𝑘
1
)
(𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖)
(𝑎
2
2𝑖+1
