и
[𝑃𝑄𝑅]
𝑟
1
=
𝑅
2
𝑅
3
-
𝑆
1
²
+
𝑇
1
²
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
[𝑃𝑄𝑅]
𝑠
1
=
𝑇
2
𝑇
3
+
𝑆
2
𝑆
3
-
𝑅
1
𝑆
1
,
[𝑃𝑄𝑅]
𝑡
1
=
𝑅
1
𝑇
1
+
𝑆
2
𝑇
3
-
𝑆
3
𝑇
2
.
(13)
Поэтому, если мы обратим 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3 в нуль, коэффициенты s не исчезают, если коэффициенты 𝑇 не равны нулю.
Условие устойчивости
300. Поскольку равновесие электричества является устойчивым, работа, затраченная на поддержание тока, должна всегда быть положительной. Условия, при выполнении которых величина 𝑊 всегда является положительной, заключаются в том, что три коэффициента 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3, а также три выражения
4𝑅
2
𝑅
3
-
(𝑃
1
-𝑄
1
)²
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
4𝑅
3
𝑅
1
-
(𝑃
2
-𝑄
2
)²
,
4𝑅
1
𝑅
2
-
(𝑃
3
-𝑄
3
)²
(14)
должны все быть положительны.
Сходные соотношения имеют место и для коэффициентов проводимости.
Уравнения непрерывности в однородной среде
301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала 𝑉, уравнение непрерывности
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0
(15)
в однородной среде примет форму
𝑟
1
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑟
2
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑟
3
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
+
+
2𝑠
1
𝑑²𝑉
𝑑𝑦𝑑𝑧
+
2𝑠
2
𝑑²𝑉
𝑑𝑧𝑑𝑥
+
2𝑠
3
𝑑²𝑉
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
0.
(16)
Если среда не является однородной, в уравнение войдут члены, обусловленные изменением коэффициентов проводимости при переходе от одной точки к другой.
Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде.
302. Если положить
[𝑟𝑠]
=
𝑟
1
𝑟
2
𝑟
3
+
2𝑠
1
𝑠
2
𝑠
3
-
𝑟
1
𝑠
1
²
-
𝑟
2
𝑠
2
²
-
𝑟
3
𝑠
3
²
,
(17)
и
[𝐴𝐵]
=
𝐴
1
𝐴
2
𝐴
3
+
2𝐵
1
𝐵
2
𝐵
3
-
𝐴
1
𝐵
1
²
-
𝐴
2
𝐵
2
²
-
𝐴
3
𝐵
3
²
,
(18)
где
[𝑟𝑠]
𝐴
1
=
𝑟
2
𝑟
3
-𝑠
1
²
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
[𝑟𝑠]
𝐵
1
=
𝑠
2
𝑠
3
-𝑟
1
𝑠
1
,
…
…
…
(19)
и т.д., то система 𝐴,𝐵 будет обратна системе 𝑟,𝑠, и, если обозначим
𝐴
1
𝑥²
+
𝐴
2
𝑦²
+
𝐴
3
𝑧²
+
2𝐵
1
𝑦𝑧
+
2𝐵
2
𝑧𝑥
+
2𝐵
3
𝑥𝑦
=
[𝐴𝐵]
ρ²
,
(20)
мы найдём, что выражение
𝑉
=
𝐶
4π
⋅
1
ρ
(21)
является решением этого уравнения.
В случае, когда коэффициенты 𝑇 равны нулю, коэффициенты 𝐴 и 𝐵 совпадают с коэффициентами 𝑅 и 𝑆 из п. 299. При наличии 𝑇 этого не происходит.
Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых ρ имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.
Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм 𝑠 и 𝐵 обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы 𝐴 будет обратен соответствующему коэффициенту формы 𝑟. Выражение для ρ будет
𝑥²
𝑟1
+
𝑦²
𝑟2
+
𝑧²
𝑟3
=
ρ²
𝑟1𝑟2𝑟3
.
(22)
303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики 2. Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.
2 Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.
Коэффициенты 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора 𝑇, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, которые являются составляющими другого вектора 𝑡.
Векторы 𝑇 и 𝑡 вообще говоря, не совпадают по направлению.
Выберем теперь ось 𝑧 так, чтобы она совпадала с вектором 𝑇, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму
𝑋
=
