𝑅
1
𝑢
+
𝑆
3
𝑣
+
𝑆
2
𝑤
-
𝑇𝑣
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑌
=
𝑆
3
𝑢
+
𝑅
2
𝑣
+
𝑆
1
𝑤
+
𝑇𝑣
,
𝑍
=
𝑆
2
𝑢
+
𝑆
1
𝑣
+
𝑅
3
𝑤
.
(23)
Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов 𝑅 и 𝑆, а вторая - только от 𝑇. Часть, зависящая от 𝑅 и 𝑆, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от 𝑇, равна по величине произведению 𝑇 на слагающую тока, перпендикулярную к оси 𝑇, и направлена перпендикулярно к 𝑇 и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси 𝑇.
Если мы рассматриваем ток и 𝑇 как векторы, то часть электродвижущей напряжённости, обусловленная 𝑇, есть векторная часть произведения 𝑇×ток.
Коэффициент 𝑇 может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе.
304. Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100а-100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум.
Для упрощения алгебраических расчётов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трём слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду
𝑟
1
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑟
2
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
𝑟
3
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
=
0.
(24)
Обозначим также через 𝑎, 𝑏, 𝑐 три функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющих условию
𝑑𝑎
𝑑𝑥
+
𝑑𝑏
𝑑𝑦
+
𝑑𝑐
𝑑𝑧
=
0,
(25)
и положим
𝑎
=-
𝑟
1
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑢
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑏
=-
𝑟
2
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑣
,
𝑐
=-
𝑟
3
𝑑𝑉
𝑑𝑧
+
𝑤
,
(26)
Наконец, пусть тройной интеграл
𝑊
=
∭
(
𝑅
1
𝑎²
+
𝑅
2
𝑏²
+
𝑅
3
𝑐²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(27)
распространён по объёму, ограниченному, как это было сделано в п. 100 а, а именно на некоторых участках границы величина 𝑉 является постоянной или же задана нормальная составляющая вектора 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём предыдущее условие сопровождается дополнительным ограничением, что интеграл от этой составляющей по граничной поверхности должен обращаться в нуль. Тогда интеграл 𝑊 принимает минимальное значение, если 𝑢=0, 𝑣=0, 𝑤=0.
Действительно, в этом случае 𝑟1𝑅1=1, 𝑟2𝑅2=1, 𝑟3𝑅3=1, и поэтому с учётом (26)
𝑊
=
∭
⎡
⎢
⎣
𝑟
1
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
𝑟
2
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
𝑟
3
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∭
(
𝑅
1
𝑢²
+
𝑅
2
𝑣²
+
𝑅
3
𝑤²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
-
-2
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(28)
Но, поскольку
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0,
(29)
третье слагаемое исчезает в силу условий на границах.
Таким образом, первое слагаемое в сумме (28) представляет собой единственное минимальное значение величины 𝑊.
305. Поскольку это предположение очень важно для теории электричества, может оказаться полезным следующее доказательство самого общего случая в форме, свободной от аналитических операций.
Рассмотрим распространение электричества через проводник любой формы, однородный или неоднородный.
Тогда мы знаем, что:
(1) Если мы проведём линию вдоль пути и в направлении электрического тока, эта линия должна проходить от мест с высоким потенциалом к местам с низким потенциалом.
(2) Если потенциал в каждой точке системы изменится в заданном постоянном отношении, ток изменится в том же самом отношении в соответствии с Законом Ома.
(3) Если определённое распределение потенциала вызывает определённое распределение токов, а другое распределение потенциала вызывает другое распределение токов, то третье распределение, в котором потенциал есть сумма или разность потенциалов, отвечающих первому и второму распределениям, вызовет третье распределение токов, такое, что полный ток, проходящий через данную конечную поверхность, в третьем случае равен сумме или разности токов, проходящих через неё в первом и втором случаях. Ибо по Закону Ома добавочный ток, вызванный изменением потенциалов, не зависит от начального тока, вызванного начальным распределением потенциалов.
(4) Если потенциал имеет одно и то же значение на всей замкнутой поверхности и если внутри неё нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри замкнутой поверхности не будет токов и потенциал в любой точке внутри неё будет равен потенциалу на поверхности.
Если внутри замкнутой поверхности имеются токи, они либо должны образовывать замкнутые кривые, либо должны начинаться и оканчиваться внутри замкнутой поверхности или на самой поверхности.
Но поскольку ток должен проходить от мест с высоким к местам с низким потенциалом, он не может течь по замкнутой кривой.
Поскольку внутри поверхности нет электродов, ток не может начинаться или заканчиваться внутри замкнутой поверхности, а поскольку потенциал во всех точках поверхности один и тот же, не может существовать ток вдоль линий, проходящих от одной точки поверхности к другой.
