Если бы мы были свободны предположить, что твёрдое тело может рассматриваться как совокупность линейных проводников, то, используя свойство взаимности двух любых проводников в линейной системе (п. 281), мы могли бы показать, что электродвижущая сила, направленная вдоль оси 𝑧 и создающая единичный ток, направленный вдоль оси 𝑦, должна равняться электродвижущей силе, действующей вдоль оси 𝑦 и создающей единичный ток вдоль оси 𝑧 Это означало бы, что 𝑃1=𝑄1. Подобным же образом мы получили бы 𝑃2=𝑄2 и 𝑃3=𝑄3. Если эти условия выполняются, то говорят, что система коэффициентов является Симметричной. Если они не выполняются, система называется Косой (Skew).
Имеется серьёзная причина полагать, что в любом реальном случае система коэффициентов является симметричной, но мы в дальнейшем рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из предположения о возможной несимметричности коэффициентов.
298. Величины 𝑢, 𝑣, 𝑤 могут быть выражены как линейные функции составляющих 𝑋, 𝑌, 𝑍 с помощью системы уравнений, которую мы можем назвать Уравнениями Проводимости:
𝑢
=
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
,
𝑣
=
𝑞
3
𝑋
+
𝑟
2
𝑌
+
𝑝
1
𝑍
,
𝑤
=
𝑝
2
𝑋
+
𝑞
1
𝑌
+
𝑟
3
𝑍
.
(3)
Коэффициенты 𝑟 можно назвать коэффициентами Продольной проводимости, а коэффициенты 𝑝 и 𝑞 - коэффициентами Поперечной проводимости.
Коэффициенты сопротивления обратны коэффициентам проводимости. Эту связь можно определить следующим образом.
Обозначим определитель, составленный из коэффициентов сопротивления, через [𝑃𝑄𝑅], а определитель, составленный из коэффициентов проводимости, - через [𝑝𝑞𝑟]. Тогда
[𝑃𝑄𝑅]
=
𝑃
1
𝑃
2
𝑃
3
+
𝑄
1
𝑄
2
𝑄
3
+
𝑅
1
𝑅
2
𝑅
3
-
𝑅
1
𝑄
1
𝑅
1
-
-
𝑃
2
𝑄
2
𝑅
2
-
𝑃
3
𝑄
3
𝑅
3
,
(4)
[𝑝𝑞𝑟]
=
𝑝
1
𝑝
2
𝑝
3
+
𝑞
1
𝑞
2
𝑞
3
+
𝑟
1
𝑟
2
𝑟
3
-
𝑝
1
𝑞
1
𝑟
1
-
𝑝
2
𝑞
2
𝑟
2
-
-
𝑝
3
𝑞
3
𝑟
3
,
(5)
[𝑃𝑄𝑅]
[𝑝𝑞𝑟]
=
1,
(6)
[𝑃𝑄𝑅]
𝑝
1
=
(𝑃
2
𝑃
3
-𝑄
1
𝑅
1
)
,
[𝑝𝑞𝑟]
𝑃
1
=
(𝑝
2
𝑝
3
-𝑞
1
𝑟
1
)
,
и т.д.
и т.д.
(7)
Другие уравнения могут быть получены циклической перестановкой символов 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑝, 𝑞, 𝑟 и индексов 1, 2, 3.
Скорость образования тепла
299. Для того чтобы найти работу, совершаемую током в единицу времени на преодоление сопротивления и тем самым на образование тепла, умножим составляющие тока на соответствующие составляющие электродвижущей напряжённости. Мы получим следующее выражение для работы 𝑊 совершаемой за единицу времени:
𝑊
=
𝑋𝑢
+
𝑌𝑣
+
𝑍𝑤
;
(8)
=
𝑅
1
𝑢²
+
𝑅
2
𝑣²
+
𝑅
3
𝑤²
+
(𝑃
1
+𝑄
1
)𝑣𝑤
+
(𝑃
2
+𝑄
2
)𝑤𝑣
+
+
(𝑃
3
+𝑄
3
)𝑢𝑣
;
(9)
=
𝑟
1
𝑋²
+
𝑟
2
𝑌²
+
𝑟
3
𝑍²
+
(𝑝
1
+𝑞
1
)𝑌𝑍
+
(𝑝
2
+𝑞
2
)𝑍𝑋
+
+
(𝑝
3
+𝑞
3
)𝑋𝑌
.
(10)
С помощью подходящего выбора осей из выражения (9) можно убрать произведения составляющих 𝑢, 𝑣, 𝑤 или же произведения компонент 𝑋, 𝑌, 𝑍, Однако система осей, в которой выражение для 𝑊 приводится к виду 𝑅1𝑢²+𝑅2𝑣²+𝑅3𝑤², вообще говоря, не совпадает с системой осей, в которой оно приводится к виду 𝑟1𝑋²+𝑟2𝑌²+𝑟3𝑍².
Эти две системы осей совпадают только в том случае, когда коэффициенты 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 равны соответственно коэффициентам 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3.
Если, следуя Томсону 1, мы положим
𝑃
=
𝑆+𝑇
,
𝑄
=
𝑆-𝑇
и
𝑝
=
𝑠+𝑟
,
𝑝
=
𝑠-𝑟
,
(11)
1Trans. R. S. Edin., 1853-4, р. 165.
тогда мы получим
[𝑃𝑄𝑅]
=
𝑅
1
𝑅
2
𝑅
3
+
2𝑆
1
𝑆
2
𝑆
3
-
𝑆
1
²𝑅
1
-
𝑆
2
²𝑅
2
-
𝑆
3
²𝑅
3
+
+2(
𝑆
1
𝑇
2
𝑇
3
+
𝑆
2
𝑇
3
𝑇
1
+
𝑆
3
𝑇
1
𝑇
2
)+
𝑅
1
𝑇
1
²
+
𝑅
2
𝑇
2
²
+
+
𝑅
3
𝑇
3
²
(12)
