Любой тонкий лист металла или проводящего вещества, ограниченный с двух сторон воздухом или некоторой другой непроводящей средой, может рассматриваться как токовый лист, в котором распределение тока может быть выражено с помощью токовой функции (см. п. 647).
Уравнение непрерывности
295. Если продифференцировать каждое из трёх уравнений (15) соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧 имея при этом в виду, что 𝐿 является функцией от λ, и λ', найдём
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0.
(17)
Соответствующее уравнение в гидродинамике называется Уравнением «Непрерывности». Та непрерывность, которую оно выражает, есть непрерывность существования, т. е. это означает, что материальное вещество не может покинуть одну часть пространства и появиться в другой, не проходя через пространство между ними. Оно не может просто исчезнуть в одном месте и появиться в другом, а должно пройти по некоторому непрерывному пути, так что, если провести замкнутую поверхность, включающую одно местоположение и исключающую другое, материальное вещество, переходя из этого одного положения в другое, должно пройти через эту замкнутую поверхность. Наиболее общей формой этого уравнения в гидродинамике является уравнение
𝑑(ρ𝑢)
𝑑𝑥
+
𝑑(ρ𝑣)
𝑑𝑦
+
𝑑(ρ𝑤)
𝑑𝑧
+
𝑑ρ
𝑑𝑡
=
0,
(18)
где ρ обозначает отношение количества вещества к занимаемому объёму (в данном случае рассматривается дифференциальный элемент объёма), а величины (ρ𝑢), (ρ𝑣), (ρ𝑤) - отношения количества вещества, пересекающего в единицу времени элемент поверхности, к площади этого элемента, при этом элемент площади выбирается перпендикулярно к осям 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно. Имея это в виду, уравнение можно применять к любой материальной среде, твёрдой или жидкой, для непрерывного или разрывного движения при условии, что существование отдельных частей этой среды является непрерывным. Если что бы то ни было, пускай и не вещество, подчиняется условию непрерывного существования во времени и пространстве, указанное уравнение будет выражать это условие.
Уравнения подобного вида возникают в других разделах Физического Учения, например в теории электрических и магнитных величин. Мы будем называть такие уравнения «уравнениями непрерывности», указывая на их форму, хотя мы можем и не придавать входящим в эти уравнения величинам свойства вещества, или даже непрерывное существование во времени и пространстве.
Уравнение (17), к которому мы пришли в случае электрических токов, тождественно с (18), если мы положим ρ=1, т. е. если мы предположим, что соответствующее вещество является однородным и несжимаемым. Для случая жидкости это уравнение также может быть установлено любым из способов, приводимых в трактатах по гидродинамике. В одном случае мы следим за движением и деформацией некоторого выбранного элемента жидкости по мере его перемещения. В другом случае мы фиксируем наше внимание на некотором элементе пространства и учитываем всё, что втекает в этот элемент и вытекает из него.
Первый из этих двух методов не может быть применён к электрическим токам, потому что мы не знаем, с какой скоростью электричество проходит через тело, и даже не знаем, движется оно в положительном или отрицательном направлении тока. Всё, что мы знаем - это алгебраическое значение величины количества электричества, которое пересекает единицу площади за единицу времени,- величины, соответствующей (ρ𝑢) в уравнении (18). Мы не можем приписать определённого значения какому-либо из множителей ρ или 𝑢, и поэтому мы не можем следовать за какой-либо отдельной порцией электричества на её пути через тело. Другой метод исследования, где мы рассматриваем то, что проходит через стенки некоторого элемента объёма, применим к электрическим токам и, по-видимому, является формально предпочтительным по сравнению с тем, который приведён нами, но нам нет нужды его здесь повторять, поскольку он излагается в любом трактате по гидродинамике.
Количество электричества, которое проходит через данную поверхность
296. Пусть результирующий ток в любой точке данной поверхности равен Γ. Элемент поверхности обозначим через 𝑑𝑆 а угол между током Γ и внешней нормалью к поверхности обозначим через ε. Тогда полный ток через поверхность будет равен
∬
=
Γ cos ε 𝑑𝑆
,
где интегрирование проводится по поверхности.
В случае произвольной замкнутой поверхности мы можем, как и в п. 21, преобразовать этот интеграл к виду
∬
=
Γ cos ε 𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
причём тройное интегрирование проводится по объёму, ограниченному этой поверхностью. Эта формула даёт выражение для полного потока, вытекающего из замкнутой поверхности. Поскольку во всех случаях стационарных токов эта величина должна быть равна нулю при любых пределах интегрирования, величина под знаком интеграла должна обратиться в нуль, и мы получаем таким путём уравнение непрерывности (17).
ГЛАВА VIII
СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ
О наиболее общих соотношениях между током и электродвижущей силой
297. Обозначим составляющие тока в любой точке через 𝑢, 𝑣, 𝑤. Составляющие электродвижущей напряжённости обозначим через 𝑋, 𝑌, 𝑍.
Электродвижущая напряжённость в любой точке есть результирующая сила, действующая на единицу положительного электричества, помещённую в этой точке. Электродвижущая напряжённость может возникать: (1) от действия электростатических сил. В этом случае, если 𝑉 - потенциал, то
𝑋
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
𝑌
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
𝑍
=-
𝑑𝑉
𝑑𝑧
;
(1)
или (2) из-за электромагнитной индукции, законы которой мы рассмотрим позднее; или (3) из-за термоэлектрического или электрохимического действия в рассматриваемой точке, вызывающих ток в данном направлении.
Мы будем, как правило, предполагать, что величины 𝑋, 𝑌, 𝑍 являются составляющими электродвижущей напряжённости, действующей в данной точке, каково бы ни было происхождение этой силы, однако иногда мы будем рассматривать следствия из предположения, по которому электродвижущая напряжённость целиком обусловлена изменением потенциала.
По Закону Ома ток пропорционален электродвижущей напряжённости. Следовательно, 𝑋, 𝑌, 𝑍 должны быть линейными функциями от 𝑢, 𝑣, 𝑤 Мы, таким образом, можем принять в качестве Уравнений Сопротивления
𝑋
=
𝑅
1
𝑢
+
𝑄
3
𝑣
+
𝑃
2
𝑤
𝑌
=
𝑃
3
𝑢
+
𝑅
2
𝑣
+
𝑄
1
𝑤
𝑍
=
𝑄
2
𝑢
+
𝑃
1
𝑣
+
𝑅
3
𝑤
(2)
Мы можем назвать коэффициенты 𝑅 коэффициентами продольного сопротивления в направлениях координатных осей.
Коэффициенты 𝑃 и 𝑄 могут быть названы коэффициентами поперечного сопротивления. Они определяют электродвижущую напряжённость, действующую в одном каком-нибудь направлении, необходимую для того, чтобы создать ток, текущий в другом направлении.
