Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

(16)

Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида 𝑅𝑝𝑞𝑋²𝑝𝑞 или

𝐽𝐻

=

{

𝑅

𝑝𝑞

𝐶²

𝑝𝑞

+

2𝑅

𝑝𝑞

𝐶

𝑝𝑞

𝑌

𝑝𝑞

+

𝑅

𝑝𝑞

𝑌²

𝑝𝑞

}

(17)

Внося значения 𝐶𝑝𝑞 и помня соотношение между 𝐾𝑝𝑞 и 𝑅𝑝𝑞, получаем

[

(𝑃

𝑝

-𝑃

𝑞

)

(𝐶

𝑝𝑞

+2𝑌

𝑝𝑞

)

+

𝑅

𝑝𝑞

𝑌²

𝑝𝑞

].

(18)

Теперь, поскольку и величины 𝐶 и величины 𝑌 должны удовлетворять условию непрерывности в точке 𝐴𝑝, мы имеем

𝑄

𝑝

=

𝐶

𝑝1

+

𝐶

𝑝2

+ и т.д. +

𝐶

𝑝𝑛

,

(19)

𝑄

𝑝

=

𝑋

𝑝1

+

𝑋

𝑝2

+ и т.д. +

𝑋

𝑝𝑛

,

(20)

и, следовательно,

0

=

𝑌

𝑝1

+

𝑌

𝑝2

+ и т.д. +

𝑌

𝑝𝑛

.

(21)

Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим

(

𝑅

𝑝𝑞

𝑋²

𝑝𝑞

)

=

𝑃

𝑝

𝑄

𝑝

+

𝑅

𝑝𝑞

𝑋²

𝑝𝑞

.

(22)

Поскольку величины 𝑅 всегда положительны и величины 𝑌² существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части даёт минимальное значение всего выражения, соответствующее тому случаю, когда величина 𝑌 в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.

Отсюда вытекает следующая теорема:

284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределёнными по закону Ома, оказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.

Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине ∑𝑃𝑝𝑄𝑞 сумме произведений количеств электричества, подводимых к разным внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI

Изучаемые в п. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.

Пусть потенциал одной из точек, скажем точки 𝐴𝑛 принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку 𝐴𝑠 притекает количество электричества 𝑄𝑠 потенциал в точке 𝐴𝑝 равен -(𝐷𝑝𝑠/𝐷)𝑄𝑠.

Величины 𝐷 и 𝐷𝑝𝑠 могут быть определены с помощью следующих правил. Величина -𝐷 равна сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение содержит (𝑛-1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина 𝐷𝑝𝑠 равна сумме произведений, составленных каждое из (𝑛-2) сомножителей, причём не учитываются такие произведения, которые содержат проводимости ветвей 𝐴𝑝𝐴𝑛 или 𝐴𝑠𝐴𝑛, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, образующих либо сами по себе, либо с помощью ветвей 𝐴𝑝𝐴𝑛 или 𝐴𝑠𝐴𝑛 замкнутые контуры.

Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила 𝐸𝑞𝑟, действующая в разветвлении 𝐴𝑞𝐴𝑟 действует так же, как и источник тока величины 𝐾𝑞𝑟𝐸𝑞𝑟, расположенный в точке 𝑅, и сток той же величины, расположенный в точке 𝑄, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат приложения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила 𝐸𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴𝑝𝐴𝑞, то величина тока, возникающего при этом в другом проводнике 𝐴𝑟𝐴𝑠, равна

𝐾

𝑟𝑠

𝐾

𝑝𝑞

Δ

𝐷

𝐸

𝑝𝑞

,

где 𝐷 вычисляется по указанному выше правилу, а Δ=Δ12.

Тогда Δ1 вычисляется следующим образом: составим из проводимостей всевозможные произведения, содержащие (𝑛-2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви 𝐴𝑝𝐴𝑟 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴𝑝𝐴𝑟 образуют замкнутый контур), так и проводимость ветви 𝐴𝑞𝐴𝑠 (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с 𝐴𝑠𝐴𝑞 образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей 𝐴𝑟𝐴𝑠 или 𝐴𝑝𝐴𝑞, или же произведения проводимостей тех ветвей, которые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью 𝐴𝑟𝐴𝑠 или 𝐴𝑝𝐴𝑞. Сумма оставшихся членов даст выражение для Δ1. Величина Δ2 получается по тому же способу, только вместо ветвей 𝐴𝑝𝐴𝑟 и 𝐴𝑠𝐴𝑞 следует брать ветви 𝐴𝑝𝐴𝑠 и 𝐴𝑞𝐴𝑟 соответственно.

Если ток входит через точку 𝑃 и выходит через точку 𝑄, отношение этого тока к разности потенциалов между 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞, равно 𝐷/Δ'.

Здесь Δ' представляет собой сумму произведений проводимостей, причём в каждое произведение входит (𝑛-2) сомножителей, и отбрасываются все те произведения, которые содержат проводимость ветви 𝐴𝑝𝐴𝑞 или содержат произведения проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью 𝐴𝑝𝐴𝑞 образуют замкнутый контур.

В этих выражениях опускаются все члены, которые содержат произведение проводимостей, если соответствующие ветви образуют замкнутый контур.

Мы можем пояснить эти правила, применив их к очень важному случаю 4 точек, соединённых 6 проводниками. Обозначим точки номерами 1, 2, 3, 4.

Тогда 𝐷 равно сумме произведений проводимостей, причём каждое произведение состоит из трёх сомножителей, однако в сумму не включаются следующие 4 произведения: 𝐾12𝐾23𝐾31, 𝐾12𝐾24𝐾41, 𝐾13𝐾34𝐾41 и 𝐾23𝐾34𝐾42 поскольку они соответствуют четырём замкнутым контурам (123), (124), (134) и (234).

Таким образом,

𝐷

=

(𝐾

14

+𝐾

24

+𝐾

34

)

(𝐾

12

𝐾

13

+𝐾

12

𝐾

23

+𝐾

13

141
{"b":"603607","o":1}