Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

𝐾

24

)

+

𝐾

14

𝐾

24

(𝐾

13

+𝐾

23

)

+

𝐾

14

𝐾

34

(𝐾

12

+𝐾

23

)

+

+

𝐾

34

𝐾

24

(𝐾

12

+𝐾

13

)

+

𝐾

14

𝐾

24

𝐾

34

.

Предположим, что электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением

Δ12

𝐷

𝐸

𝐾

14

𝐾

23

,

где Δ1=𝐾13𝐾24 (по определению), Δ2=𝐾12𝐾43.

Таким образом, если по проводнику (14) не идёт ток, 𝐾13𝐾24-𝐾12𝐾43=0; это равенство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряжёнными.

Ток через проводник (13) равен

𝐾12(𝐾14+𝐾24+𝐾34)+𝐾14+𝐾24

𝐷

𝐸

𝐾

14

𝐾

23

.

Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна

𝐷

(𝐾14+𝐾24+𝐾34) (𝐾12+𝐾13) + 𝐾14(𝐾24+𝐾34)

.

Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряжённости проводников (23) и (14) имеет вид

𝐾

12

𝐾

34

(𝐾

15

+𝐾

25

+𝐾

35

+𝐾

45

)

+

+

𝐾

12

𝐾

35

𝐾

45

+

𝐾

34

𝐾

51

𝐾

52

=

=

𝐾

13

𝐾

24

(𝐾

15

+𝐾

25

+𝐾

35

+𝐾

45

)

+

+

𝐾

13

𝐾

52

𝐾

54

+

𝐾

24

𝐾

51

𝐾

53

.

ГЛАВА VII

ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Запись электрических токов

285. Выберем в некоторой точке элемент площади 𝑑𝑆, ориентированный перпендикулярно к оси 𝑥. Пусть через эту площадку от отрицательной её стороны к положительной проходит 𝑄 единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение 𝑄/𝑑𝑆 при безграничном уменьшении 𝑑𝑄 принимает предельное значение 𝑢, то эту величину 𝑢 называют Составляющей электрического тока в направлении оси 𝑥 в данной точке.

Точно так же мы можем определить 𝑣 и 𝑤 - составляющие электрического тока в направлениях соответственно 𝑦 и 𝑧.

286. Для того чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку 𝑂, в любом другом направлении 𝑂𝑅, введём направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛 отрезка 𝑂𝑅. Тогда, если мы отсечём по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 от начала координат, помещённого в точку 𝑂, отрезки, равные 𝑟/𝑙, 𝑟/𝑚, и 𝑟/𝑛 а концы отрезков обозначим соответственно 𝐴, 𝐵 и 𝐶, то треугольник 𝐴𝐵𝐶 будет перпендикулярен направлению 𝑂𝑅 [рис. 23].

Трактат об электричестве и магнетизме - _25.jpg

Рис. 23

Площадь этого треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна

𝑑𝑆

=

1

2

𝑟²

𝑙𝑚𝑛

,

и при уменьшении 𝑟 эта площадь безгранично уменьшается.

Количество электричества, которое выходит из тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝑂 через треугольную грань 𝐴𝐵𝐶, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵.

Площадь треугольника 𝑂𝐵𝐶 равна 𝑟²/(2𝑚𝑛), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна 𝑢, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник в единицу времени, равно 𝑟²𝑢/(2𝑚𝑛).

Количества электричества, которые входят через грани 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 за единицу времени, равны соответственно (𝑟²𝑣)/(2𝑛𝑙) и (𝑟²𝑤)/(2𝑙𝑚).

Если составляющую тока в направлении 𝑂𝑅 обозначить через γ, то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань 𝐴𝐵𝐶, равно (𝑟²γ)/(2𝑙𝑚𝑛). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение

1

2

𝑟²γ

𝑙𝑚𝑛

=

1

2

𝑟²

𝑢

𝑚𝑛

+

𝑣

𝑛𝑙

+

𝑤

𝑙𝑚

.

Умножив его (2𝑙𝑚𝑛)/𝑟², получаем

γ

=

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

.

(1)

Если мы положим

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

=

Γ²

и введём три величины 𝑙', 𝑚' и 𝑛', такие, что

𝑢

=

𝑙'Γ

,

𝑣

=

𝑚'Γ

 и

𝑤

=

𝑛'Γ

, то

γ

=

Γ(𝑙𝑙'+𝑚𝑚'+𝑛𝑛')

.

(2)

Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна Γ, а направляющие косинусы равны 𝑙', 𝑚', 𝑛', и если γ обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол θ, то

γ

=

Γ cos θ

.

(3)

Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.

287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение

𝐹

(

𝑥

,

𝑦

,

𝑧

)

=

λ

(4)

определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной λ Тогда, если положить

𝑑λ

𝑑𝑥

⎞²

+

𝑑λ

𝑑𝑦

⎞²

+

𝑑λ

𝑑𝑧

⎞²

=

1

𝑁²

,

(5)

то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста λ, равны

142
{"b":"603607","o":1}