𝐾
24
)
+
𝐾
14
𝐾
24
(𝐾
13
+𝐾
23
)
+
𝐾
14
𝐾
34
(𝐾
12
+𝐾
23
)
+
+
𝐾
34
𝐾
24
(𝐾
12
+𝐾
13
)
+
𝐾
14
𝐾
24
𝐾
34
.
Предположим, что электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением
Δ1-Δ2
𝐷
𝐸
𝐾
14
𝐾
23
,
где Δ1=𝐾13𝐾24 (по определению), Δ2=𝐾12𝐾43.
Таким образом, если по проводнику (14) не идёт ток, 𝐾13𝐾24-𝐾12𝐾43=0; это равенство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряжёнными.
Ток через проводник (13) равен
𝐾12(𝐾14+𝐾24+𝐾34)+𝐾14+𝐾24
𝐷
𝐸
𝐾
14
𝐾
23
.
Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна
𝐷
(𝐾14+𝐾24+𝐾34) (𝐾12+𝐾13) + 𝐾14(𝐾24+𝐾34)
.
Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряжённости проводников (23) и (14) имеет вид
𝐾
12
𝐾
34
(𝐾
15
+𝐾
25
+𝐾
35
+𝐾
45
)
+
+
𝐾
12
𝐾
35
𝐾
45
+
𝐾
34
𝐾
51
𝐾
52
=
=
𝐾
13
𝐾
24
(𝐾
15
+𝐾
25
+𝐾
35
+𝐾
45
)
+
+
𝐾
13
𝐾
52
𝐾
54
+
𝐾
24
𝐾
51
𝐾
53
.
ГЛАВА VII
ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА В ТРЁХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Запись электрических токов
285. Выберем в некоторой точке элемент площади 𝑑𝑆, ориентированный перпендикулярно к оси 𝑥. Пусть через эту площадку от отрицательной её стороны к положительной проходит 𝑄 единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение 𝑄/𝑑𝑆 при безграничном уменьшении 𝑑𝑄 принимает предельное значение 𝑢, то эту величину 𝑢 называют Составляющей электрического тока в направлении оси 𝑥 в данной точке.
Точно так же мы можем определить 𝑣 и 𝑤 - составляющие электрического тока в направлениях соответственно 𝑦 и 𝑧.
286. Для того чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку 𝑂, в любом другом направлении 𝑂𝑅, введём направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛 отрезка 𝑂𝑅. Тогда, если мы отсечём по осям 𝑥, 𝑦, 𝑧 от начала координат, помещённого в точку 𝑂, отрезки, равные 𝑟/𝑙, 𝑟/𝑚, и 𝑟/𝑛 а концы отрезков обозначим соответственно 𝐴, 𝐵 и 𝐶, то треугольник 𝐴𝐵𝐶 будет перпендикулярен направлению 𝑂𝑅 [рис. 23].
Рис. 23
Площадь этого треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна
𝑑𝑆
=
1
2
𝑟²
𝑙𝑚𝑛
,
и при уменьшении 𝑟 эта площадь безгранично уменьшается.
Количество электричества, которое выходит из тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝑂 через треугольную грань 𝐴𝐵𝐶, должно быть равно тому количеству электричества, которое втекает через остальные грани 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵.
Площадь треугольника 𝑂𝐵𝐶 равна 𝑟²/(2𝑚𝑛), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна 𝑢, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник в единицу времени, равно 𝑟²𝑢/(2𝑚𝑛).
Количества электричества, которые входят через грани 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 за единицу времени, равны соответственно (𝑟²𝑣)/(2𝑛𝑙) и (𝑟²𝑤)/(2𝑙𝑚).
Если составляющую тока в направлении 𝑂𝑅 обозначить через γ, то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань 𝐴𝐵𝐶, равно (𝑟²γ)/(2𝑙𝑚𝑛). Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение
1
2
𝑟²γ
𝑙𝑚𝑛
=
1
2
𝑟²
⎧
⎨
⎩
𝑢
𝑚𝑛
+
𝑣
𝑛𝑙
+
𝑤
𝑙𝑚
⎫
⎬
⎭
.
Умножив его (2𝑙𝑚𝑛)/𝑟², получаем
γ
=
𝑙𝑢
+
𝑚𝑣
+
𝑛𝑤
.
(1)
Если мы положим
𝑢²
+
𝑣²
+
𝑤²
=
Γ²
и введём три величины 𝑙', 𝑚' и 𝑛', такие, что
𝑢
=
𝑙'Γ
,
𝑣
=
𝑚'Γ
и
𝑤
=
𝑛'Γ
, то
γ
=
Γ(𝑙𝑙'+𝑚𝑚'+𝑛𝑛')
.
(2)
Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна Γ, а направляющие косинусы равны 𝑙', 𝑚', 𝑛', и если γ обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол θ, то
γ
=
Γ cos θ
.
(3)
Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов.
287. Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение
𝐹
(
𝑥
,
𝑦
,
𝑧
)
=
λ
(4)
определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определённого значения постоянной λ Тогда, если положить
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
=
1
𝑁²
,
(5)
то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста λ, равны
