+
(𝐾
21
𝐸
21
+ и т.д. -𝑄
2
)𝐷
𝑝2
+ и т.д. +
+
(𝐾
𝑞1
𝐸
𝑞1
+ и т.д. +𝐾
𝑞𝑛
𝐸
𝑞𝑛
-𝑄
𝑞
)𝐷
𝑝𝑞
+ и т.д.
(10)
Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем 𝐴𝑞, над потенциалом точки 𝐴𝑛. После этого мы можем определить ток между точками 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.
281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.
В выражении для потенциала 𝑃𝑝 коэффициент при 𝑄𝑞 равен -𝐷𝑝𝑞/𝐷. В выражении для 𝑃𝑞 коэффициент при 𝑄𝑝 равен -𝐷𝑞𝑝/𝐷.
Но величина 𝐷𝑝𝑞 отличается от 𝐷𝑞𝑝 только заменой символов, при которой все 𝐾𝑞𝑝 переходят в 𝐾𝑝𝑞. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому
𝐷
𝑝𝑞
=
𝐷
𝑞𝑝
.
(11)
Отсюда следует, что та часть потенциала в точке 𝐴𝑝 которая обусловлена введением единичного тока в точку 𝐴𝑞, равна той части потенциала в точке 𝐴𝑞, которая обусловлена введением одиночного тока в точку 𝐴𝑝.
Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.
Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 - любые четыре точки системы, и пусть ток 𝑄 входит в систему через точку 𝐴 и выходит через точку 𝐵, создавая превышение потенциала в точке 𝐶 над потенциалом в точке 𝐷 на величину 𝑃. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток 𝑄 будет входить в систему через точку 𝐶 и выходить через точку 𝐷, то потенциал в точке 𝐴 будет превышать потенциал в точке 𝐵 на ту же самую величину 𝑃.
Если ввести электродвижущую силу 𝐸, действующую на проводник от 𝐴 к 𝐵, и если эта электродвижущая сила вызывает ток 𝐶 от 𝑋 к 𝑌, то та же самая электродвижущая сила 𝐸, введённая в проводник в направлении от 𝑋 к 𝑌, вызовет точно такой же ток 𝐶 от 𝐴 к 𝐵.
Источником электродвижущей силы 𝐸 может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.
282 а. Если электродвижущая сила 𝐸𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴𝑝𝐴𝑞, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы 𝐴𝑝𝐴𝑠:
𝐾
𝑟𝑠
𝐾
𝑝𝑞
𝐸
𝑟𝑠
(
𝐷
𝑟𝑝
+
𝐷
𝑠𝑞
-
𝐷
𝑟𝑝
-
𝐷
𝑠𝑝
)/
𝐷
.
Ток равен нулю, если
𝐷
𝑟𝑝
+
𝐷
𝑠𝑞
-
𝐷
𝑟𝑝
-
𝐷
𝑠𝑝
=
0.
(12)
Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль 𝐴𝑟𝐴𝑠 ток в проводнике 𝐴𝑝𝐴𝑞 равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.
Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.
1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.
2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.
Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.
282 б1. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть 𝑥 - величина тока, 𝐸 - электродвижущая сила и 𝑅 - полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, 𝑦, 𝑧, … - токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток 𝑥. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через 𝑠, 𝑡, …. Тогда
𝑅𝑥
-
𝑠𝑦
-
𝑡𝑧
- и т.д. =
𝐸
.
1 Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).
Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых циркулируют токи 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно, мы получим три уравнения, а именно
(𝑎+β+γ)
𝑥
-γ
𝑦
-β
𝑧
=𝐸,
-γ
𝑥
+(𝑏+γ+α)
𝑦
-α
𝑧
=0,
-β
𝑥
-α
𝑦
+(𝑐+α+β)
𝑧
=0.
Из этих уравнений мы можем определить величину 𝑧-𝑦, ток, текущий через гальванометр в ответвлении 𝑂𝐴. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.
Тепло, производимое в системе
283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением 𝑅 при протекании тока 𝐶 определяется в согласии с п. 242 формулой
𝐽𝐻
=
𝑅𝐶²
.
(13)
Нам, следовательно, нужно определить сумму величин 𝑅𝐶² для всех проводников системы.
Проводник, соединяющий точки 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 имеет проводимость 𝐾𝑝𝑞 и сопротивление 𝑅𝑝𝑞, причём
𝐾
𝑝𝑞
𝑅
𝑝𝑞
=
1.
(14)
Ток в этом проводнике по закону Ома равен
𝐶
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑝𝑞
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑞
)
.
(15)
Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно 𝑋𝑝𝑞, где
𝑋
𝑝𝑞
=
𝐶
𝑝𝑞
𝑌
𝑝𝑞
.
