Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -𝑑𝑟/𝑑𝑟 т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.
Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [𝐿-1𝑇].
Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [𝐿-1𝑇]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [𝑇], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [𝑇-1].
Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.
Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿-3𝑀𝑇].
279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [𝐿𝑇-1].
Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.
Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [𝐿2𝑇-1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿-1𝑇-1𝑀].
Линейная система проводников в общем случае
280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой 𝑛 точек 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, соединённых между собой попарно с помощью 𝑛(𝑛-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞, обозначена через 𝐾𝑝𝑞 Ток от точки 𝐴𝑝 к точке 𝐴𝑞 обозначим через 𝐶𝑝𝑞. Пусть электрические потенциалы в точках 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 равны 𝑃𝑝 и 𝑃𝑞 соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки 𝐴𝑝 к точке 𝐴𝑞, равна 𝐸𝑝𝑞.
Ток от 𝐴𝑝 к 𝐴𝑞 по закону Ома равен
𝐶
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑝𝑞
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑞
+𝐸
𝑝𝑞
)
.
(1)
Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.
Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или
𝐾
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑞𝑝
.
(2)
Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.
𝐸
𝑝𝑞
=
-
𝐸
𝑞𝑝
и
𝐶
𝑝𝑞
=
-
𝐶
𝑞𝑝
.
(3)
Пусть 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃𝑛 - значения потенциалов в точках 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛 соответственно, a 𝑄1, 𝑄2, …, 𝑄𝑛 - соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»
𝑄
1
+
𝑄
2
+…+
𝑄
𝑛
=
0,
(4)
поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.
Условие «непрерывности» в любой точке 𝐴𝑝 есть
𝑄
𝑝
=
𝐶
𝑝1
+
𝐶
𝑝2
+…+ и т.д.
𝐶
𝑝𝑛
.
(5)
Подставляя значение токов из соотношения (1), получим
𝑄
𝑝
=
(
𝐾
𝑝1
+
𝐾
𝑝2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
)
𝑃
𝑝
-
-
(
𝐾
𝑝1
𝑃
1
+
𝐾
𝑝2
𝑃
2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝑃
𝑛
)
+
+
(
𝐾
𝑝1
𝐸
𝑝1
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝐸
𝑝𝑛
).
(6)
Символ 𝐾𝑝𝑝 в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять
𝐾
𝑝𝑝
=-(
𝐾
𝑝1
+
𝐾
𝑝2
+
𝐾
𝑝𝑛
),
(7)
т.е. считать, что величина 𝐾𝑝𝑝 равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке 𝐴𝑝 Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки 𝐴𝑝 в виде
𝐾
𝑝1
𝑃
1
+
𝐾
𝑝2
𝑃
2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑝
𝑃
𝑝
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝑃
𝑛
=
=
𝐾
𝑝1
𝐸
1
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝐸
𝑛
-
𝑄
𝑝
.
(8)
Полагая в этом уравнении индекс 𝑝 равным поочерёдно 1,2 и т. д. 𝑛, мы получим 𝑛 уравнений одного и того же вида для определения 𝑛 потенциалов 𝑃1, 𝑃2, … 𝑃𝑛.
Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно 𝑛-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.
Если мы обозначим через 𝐷 определитель
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝐾
11
,
𝐾
12
,
…,
𝐾
1(𝑛-1)
,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
,
𝐾
21
,
𝐾
22
,
…,
𝐾
2(𝑛-1)
,
…,
…,
…,
…,
𝐾
(𝑛-1)1
,
𝐾
(𝑛-1)2
,
…,
𝐾
(𝑛-1)(𝑛-1)
,
(9)
а через 𝐷𝑝𝑞 - минор элемента 𝐾𝑝𝑞, мы получим для величины 𝑃𝑝-𝑃𝑛 выражение
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑛
)𝐷
=
(𝐾
12
𝐸
12
+ и т.д. -𝑄
1
)𝐷
𝑝1
+
