(20)
При 𝑥'=0 плотность составляет 2-½ от нормальной плотности.
В сторону положительных 𝑥' на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1/(22𝑛+1) от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных 𝑥' плотность составляет примерно 2-𝑛 от нормальной плотности.
Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рассчитывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалёко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны +𝑉 и -𝑉. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным 𝐵.
197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,- это случай бесконечной совокупности плоскостей параллельных 𝑥'𝑧, отстоящих друг от друга на расстояние 𝐵=π𝑏 и ограничиваемых плоскостью 𝑦'𝑧, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать φ потенциальной функцией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потенциалом.
Рассмотрим кривые постоянного φ.
При 𝑦'=𝑛π𝑏, т.е. на продолжении каждой плоскости,
𝑥'
=
𝑏 ln ½
(𝑒
φ
+𝑒
-φ
)
.
(21)
При 𝑦'=(𝑛+½)π𝑏, т.е. в промежуточных положениях,
𝑥'
=
𝑏 ln ½
(𝑒
φ
-𝑒
-φ
)
.
(22)
Таким образом, при больших φ кривая постоянного φ имеет волнообразный характер.
Среднее её расстояние от оси 𝑦' приблизительно равно
𝑎
=
𝑏
(φ-ln 2)
,
(23)
а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна
½𝑏 ln
𝑒φ+𝑒-φ
𝑒φ-𝑒-φ
.
(24)
При больших φ эта величина стремится к 𝑏𝑒-2φ, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси 𝑦' и находящейся на расстоянии 𝑎 от этой оси с положительной стороны.
Если принять, что плоскость 𝑥'=𝑎 поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей - под другим потенциалом, то, поскольку 𝑏φ=𝑎+𝑏 ln 2, поверхностная плотность электричества, наведённого на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краёв плоскостей на 𝑏 ln 2.
Если 𝐵 - расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, 𝐵=π𝑏, то дополнительное расстояние равно
α
=
𝐵
ln 2
π
(25)
198. Рассмотрим теперь объём, заключённый между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям φ и может приближённо считаться плоской.
Если 𝐷 - глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения φ получим
φ
=
1
2
𝑒𝐷/𝑏+1
𝑒𝐷/𝑏+1
.
(26)
Значение 𝑥' в вершине волны равно
𝑏 ln
1
2
(𝑒
φ
+𝑒
-φ
)
.
(27)
Таким образом 2, если 𝐴 - расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то ёмкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии 𝐴+α', где
α'
=
𝐵
π
ln
2
1+𝑒-π𝐷/𝐵
(28)
2 Пусть Φ - потенциал плоскости, а φ - потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, приходящееся на единицу площади, равно 1/4 π𝑏. Следовательно, ёмкость =1/4 π𝑏(Φ-φ), 1/4 π(𝐴+α) (по предположению). Таким образом, 𝐴+α=𝑏(Φ-φ) Но 𝐴+𝑏 ln
𝑒φ+𝑒-φ
2 = 𝑏(Φ-ln 2) . Следовательно, α = -𝑏φ + 𝑏 ( ln 2 + ln
1
2 (𝑒φ+𝑒-φ) ) = 𝑏 ln (1+𝑒-2φ) = 𝑏 ln
2
1+𝑒𝐷/𝑏 , согласно (26).
199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии 𝐴 то ёмкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшается. Уменьшение ёмкости не превышает (1/𝑛)-й части уменьшения, вызываемого 𝑛 такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в. первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счёт соседних канавок.
Пусть 𝐿 - длина, 𝐵 - ширина, 𝐷 - глубина канавки. Ёмкость участка противостоящей плоскости площади 𝑆 будет равна
𝑆-𝐿𝐵
4π𝐴
+
𝐿𝐵
4π(𝐴+α')
=
𝑆
4π𝐴
-
𝐿𝐵
4π𝐴
α'
𝐴+α'
.
(29)
При 𝐴 много больше 𝐵 или α поправка, согласно (28), принимает вид
𝐿
4π²
𝐵²
𝐴²
ln
2
1+𝑒-π𝐷/𝐵
(30)
а для щели бесконечной глубины, полагая 𝐷=∞, получим
𝐿
4π²
𝐵²
𝐴²
ln 2
.
(31)
Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить
σ
=
1
4π
𝑑ψ
𝑑𝑥'
при φ=0. Расчёт даёт
σ
=
1
√𝑒-2𝑥'/𝑏-1
.
(32)
Средняя плотность на плоской пластине, находящейся на расстоянии 𝐴 от краёв семейства пластин, равна σ=1/(4π𝑏) Следовательно, на расстоянии 𝑛α от края каждой пластины поверхностная плотность равна (22𝑛-1)-1/2 от этой средней плотности.
200. Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси 𝑦'=𝑅. В этом случае уравнение Пуассона примет вид
𝑑²𝑉
𝑑𝑥'²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦'²
+
1
𝑅+𝑦'
𝑑𝑉
𝑑𝑦'
+
4πρ
=
0.
(33)
Примем, что 𝑉 равно функции φ из п. 193, и определим значение ρ из этого уравнения. Мы знаем, что первые два члена сократятся, так что
