Если же считать, что не φ, а ψ меняет свой знак вместе с 𝑦' то значение φ будет меняться от 0 до ∞. При φ=0 мы имеем отрицательную полуось 𝑥' при φ=∞ - бесконечно удалённую прямую, перпендикулярную к оси 𝑥'. Вдоль любой кривой 𝑃𝑄𝑅, расположенной между этими двумя кривыми, пересекающей ортогонально ψ-систему, значение φ постоянно по всей длине и положительно.

Значения ψ испытывают теперь скачок в точке, где кривая постоянного значения ψ пересекает отрицательную полуось 𝑥', знак ψ при этом меняется. Значение этой разрывности ψ станет ясно в п. 197.

Кривые, построение которых здесь описано, приведены на рис. XI. При этом следует ограничиться двумя третями графика, отбросив верхнюю треть.

194. Если считать φ потенциальной функцией, а ψ - функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечно длинной металлической полосы шириной π𝑏 с непроводящей прокладкой, неограниченно простирающейся от начала координат в положительном направлении и, таким образом, разделяющей положительную часть полосы на две отдельных части. Мы можем представлять себе эту прокладку как узкую щель в металлическом листе.

Если электрический ток течёт вдоль одной стороны этой прокладки и обратно-вдоль другой, причём вход и выход тока находятся на бесконечном расстоянии на положительной полуоси, то распределение потенциала и тока даётся соответственно функциями φ и ψ.

Если, наоборот, считать ψ потенциалом, а φ - функцией потока, то мы придём к случаю тока, протекающего в общем направлении вдоль 𝑦' по листу, в котором помещён ряд непроводящих прокладок, параллельных 𝑥' и простирающихся от оси 𝑦' до бесконечности в отрицательном направлении.

195. Полученные результаты можно также применить к двум важным случаям статического электричества.

(1) Пусть проводник в виде плоского листа, ограниченного прямолинейным, краем с одной стороны и неограниченного с другой стороны, помещён в плоскости 𝑥𝑧 с положительной стороны от начала координат и пусть параллельно ему по обе стороны на расстоянии π𝑏/2 помещены две бесконечные проводящие плоскости. Тогда потенциальная функция ψ равна 0 на среднем проводнике и равна π/2 на обеих плоскостях.

Рассмотрим количество электричества на части среднего проводника, простирающейся вдоль 𝑧 на расстояние 1, а вдоль 𝑥' - от начала координат до 𝑥'=𝑎

Количество электричества на части этой полосы, простирающейся от 𝑥₁' до 𝑥₂' равно (φ₂-φ₁)/4π, следовательно, количество электричества от начала коор динат до 𝑥'=𝑎 на одной стороне средней пластины равно

𝐸

=

1

4π

ln

(

𝑒

^𝑎/𝑏

+

√

𝑒

^(2𝑎/𝑏)

-1

).

(11)

Если 𝑎 много больше 𝑏, то

𝐸

=

1

4π

ln

(

2𝑒

^(𝑎/𝑏)

)

=

𝑎+𝑏 ln 2

4π𝑏

.

(12)

Таким образом, количество электричества на пластине, ограниченной прямолинейным краем, больше, чем оно было бы при равномерном распределении с плотностью, равной плотности вдали от границы, и равно количеству электричества, равномерно распределённому с той же плотностью по пластине, ширина которой, увеличена на 𝑏 ln 2 за пределы её фактической границы.

Это воображаемое однородное распределение указано пунктирными прямыми на рис. XI. Вертикальные прямые изображают силовые линии, а горизонтальные - эквипотенциальные поверхности в предположении однородной плотности в обеих плоскостях, продолженных до бесконечности во всех направлениях.

196. Иногда конденсаторы представляют собой пластину, помещённую посредине между двумя параллельными пластинами, простирающимися значительно дальше, чем промежуточная пластина. Если радиус кривизны границы промежуточной пластины много больше расстояния между пластинами, эту границу можно считать прямолинейной и при расчёте ёмкости конденсатора принять, что площадь промежуточной пластины увеличена на полосу постоянной ширины вдоль всей границы, а поверхностная плотность на этой увеличенной пластине та же, что на участках первоначальной пластины, удалённых от границы.

Таким образом, если 𝑆 - истинная площадь пластины, 𝐿 - её периметр, а 𝐵 - расстояние между большими пластинами, то

𝑏

=

𝐵/π

(13)

и ширина дополнительной полоски равна

α

=

𝐵 ln 2

π

,

(14)

так что площадь увеличенной пластины равна

𝑆'

=

𝑆

+

𝐵𝐿 ln 2

π

,

(15)

а ёмкость одной стороны средней пластины равна

1

2π

𝑆'

𝐵

=

1

2π

⎧

⎨

⎩

𝑆

𝐵

+

𝐿

1

π

ln 2

⎫

⎬

⎭

.

(16)

Поправки на толщину пластины

Поскольку толщиной средней пластины в общем случае нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между пластинами, можно получить лучшее описание этого случая, приняв сечение промежуточной пластины соответствующим кривой ψ=ψ'.

При этом пластина будет иметь почти постоянную толщину β=2𝑏ψ' вдали от границы и закругление у края.

Истинное положение края пластины можно найти, положив 𝑦'=0 откуда

𝑥'

=

𝑏 ln cos ψ'

.

(17)

Значение φ на этом краю равно 0, а в точке, для которой 𝑥'=𝑎 (𝑎/𝑏 велико), оно приблизительно равно (𝑎+𝑏 ln 2)/𝑏.

Таким образом, общее количество электричества на пластине таково, как если бы к ней добавлялась полоса шириной

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

ln 2

+

ln cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

, т.е.

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

2 cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

,

(18)

а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы.

Плотность у края

Поверхностная плотность в любой точке пластины равна

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑥'

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏-1

=

1

4π𝑏

⎛

⎜

⎝

1

+

1

2

𝑒

^-2𝑥'/𝑏

+

3

8

𝑒

^-4𝑥'/𝑏

+…

⎞

⎟

⎠

.

(19)

Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом 𝑥', так что на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину полосы α, истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/(2^2𝑛+1) от нормальной плотности.

Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏+1