ρ

=-

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑φ

𝑑𝑦'

.

(34)

Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объёмное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. XI.

Но из рис. XI видно, что 𝑑φ/𝑑𝑦' очень мало́, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краёв пластин.

Если, следовательно, вычислить интеграл ∫ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦' от 𝑦'=0 до 𝑦'=π𝑏/2 и от 𝑥'=-∞ до 𝑥'=+∞, то можно найти полный дополнительный заряд на одной стороне пластин, обусловленный кривизной.

Поскольку

𝑑φ

𝑑𝑦'

=

-

𝑑ψ

𝑑𝑥'

,

то

∞

∫

-∞

ρ𝑑𝑥'

=

∞

∫

-∞

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑ψ

𝑑𝑥'

=

1

4π

1

𝑅+𝑦'

(ψ

_∞

-ψ

_-∞

)

=

=

1

8

1

𝑅+𝑦'

⎛

⎜

⎝

2

𝑦'

𝐵

-1

⎞

⎟

⎠

.

(35)

Интегрируя по 𝑦', получим

𝐵/2

∫

0

∞

∫

-∞

ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦'

=

1

8

-

1

8

2𝑅+𝐵

𝐵

ln

2𝑅+𝐵

2𝑅

,

(36)

=-

1

32

𝐵

𝑅

+

1

192

𝐵²

𝑅²

+

….

(37)

Это выражение даёт половину полного количества электричества, приходящегося на единицу длины, которое мы должны считать распределённым в пространстве вблизи края одного из цилиндров. Поскольку эта объёмная плотность заметна лишь вблизи края пластины, мы можем считать всё электричество сосредоточенным на поверхности пластины, не изменив при этом заметным образом его воздействие на противолежащую плоскую поверхность. При расчёте притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным на цилиндрической поверхности.

Если бы никакой кривизны не было, то избыточный заряд на положительной стороне пластины, приходящийся на единицу длины, был бы равен

-

0

∫

-∞

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

=

1

4π

(ψ

₀

-ψ

_-∞

)

=-

1

8

.

Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить на множитель 1+(𝐵/2𝑅), чтобы получить полный заряд на положительной стороне.

Для диска радиуса 𝑅, помещённого между двумя параллельными плоскостями на расстоянии 𝐵, мы получим следующее выражение для ёмкости диска:

𝐵²

𝑅

+2

ln 2

π

𝑅

+

1

2

𝐵.

(38)

Теория томсоновского защитного кольца

201. В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а на расстоянии 𝐴 от этой поверхности помещён плоский диск радиуса 𝑅, окружённый большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса 𝑅', концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом.

Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины 𝑅'-𝑅, которую мы обозначим через 𝐵.

Заряд на диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположении однородной плотности равен 𝑅²/4𝐴

Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины 𝐵, длины 𝐿=2π𝑅 и бесконечной глубины может быть оценён по числу силовых линий, исходящих из большого диска и попадающих на эту сторону канавки. Таким образом, согласно п. 198 и примечанию, заряд равен

1

2

𝐿𝐵

×

1

4π𝑏

, т.е.

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α'

,

поскольку в этом случае Φ=1, φ=0 и, следовательно, 𝑏=𝐴+α'.

Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны 𝑅, то полученный результат следует умножить на 1+(𝐴/2𝑅).

Следовательно, полный заряд на диске равен

𝑅²

4𝐴

+

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α

⎛

⎜

⎝

1

+

𝐵

2𝑅

⎞

⎟

⎠

(39)

=

𝑅²+𝑅'²

8𝐴

-

𝑅'²-𝑅²

8𝐴

α'

𝐴+α'

.

(40)

Величина α' не может быть больше, чем (𝐵 ln 2)/π≈0,22𝐵.

Если 𝐵 мало по сравнению с 𝐴 или 𝑅, то это выражение даёт достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение 𝐴 к 𝑅 может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом 𝑅 должна быть в несколько раз больше 𝐴.

Пример VII. Рис. XII

202. Гельмгольц в своём мемуаре о разрывном течении жидкости ³ указал на применение некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряжённой ему функции.

³Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin, April 23, 1868, p. 215

Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземлённой бесконечной плоской поверхности.

Поскольку 𝑥₁=𝐴φ и 𝑦₁=𝐴ψ, а также 𝑥₂=𝐴𝑒^φ cosψ и 𝑦₂=𝐴𝑒^φ sinψ являются сопряжёнными функциями от φ и ψ, то функции, получающиеся сложением 𝑥₁ и 𝑥₂, 𝑦₁ и 𝑦₂, тоже будут сопряжёнными. Поэтому, если 𝑥=𝐴φ+𝐴𝑒^φ cosψ, 𝑦=𝐴ψ+𝐴𝑒^φ cosψ, то 𝑥 и 𝑦 сопряжены по отношению φ и ψ, а φ и ψ сопряжены по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Пусть теперь 𝑥 и 𝑦 - прямолинейные координаты, а 𝑘ψ - потенциал. Тогда 𝑘φ сопряжено 𝑘ψ (𝑘 - постоянная).

Положим ψ=π тогда 𝑦=𝐴π, 𝑥=𝐴(φ-𝑒^φ). При изменении φ от -∞ до 0 и затем от 0 до +∞ 𝑥 меняется от -∞ до -𝐴 и от -𝐴 до -∞. Таким образом, эквипотенциальная поверхность, для которой ψ=π, представляет собой плоскость, параллельную 𝑥𝑧, находящуюся на расстоянии 𝑏=π𝐴 от начала координат и простирающуюся от 𝑥=-∞ до 𝑥=-𝐴.

Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от 𝑥=-(𝐴+𝑎) до 𝑥=-𝐴 и от 𝑧=0 до 𝑧=𝑐, расположенную на расстоянии 𝑦=𝑏=𝐴π от плоскости 𝑥𝑧 и находящуюся под потенциалом 𝑉=𝑘ψ=𝑘π.

Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям φ в крайних её точках.