)N
ε
C
F
g²
16π²
+3N
ε
C
F
M
g²
16π²
⎫
⎬
⎭
i
p-M
,
где введены обозначения
M
=
M
u
+δ
M
,
Z
F
=1+
Δ
F
.
Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям
Δ
+
F
+
Δ
F
=-(1-ξ)N
ε
C
F
g²
16π²
диагональна,
Δ
F
M
=
MΔ
F
,
M
δ
M
=(δ
M
)M ,
Δ
M
=3N
ε
C
F
g²
16π²
M
.
Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид
Z
-1
F
1+N
ε
C
F
g²
16π²
,
Z
m
1-N
ε
C
F
g²
16π²
,
(29.8 а)
т. e.
Z
F
=Z
F
⋅
1
,
Z
m
=Z
m
⋅
1
.
(29.8б)
Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи αs .
Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контрчлены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перенормировки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.
Полученные нами результаты показывают, что, если все массы m̂l различны и не равны нулю42в), единственная глобальная симметрия, которой обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков ml может представлять собой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем некоторые дополнительные подробности.
42в) По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожидается, что массы кварков удовлетворяют соотношениям m̂d/m̂u≈2, m̂s/m̂d≈20, m̂u≈6 МэВ.
Параметрируем преобразование W в виде exp{(i/2)∑θaΛa}, где Λ - матрицы Гелл-Манна42г). Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим U±(θ):
42г)Мы рассматриваем случай трех ароматов nƒ=3. В случае двух ароматов nƒ=2 матрицы Гелл-Манна λ следует заменить матрицами Паули σ.
U
±
(θ)
1±γ5
2
q
l
U
-1
±
(θ)=
∑
l'
(e
(i/2)∑θaλa
)
ll'
1±γ5
2
q
l'
.
(29.9)
Для бесконечно малых значений параметра θ запишем эти операторы в виде
U
±
(θ)≈1-
i
2
∑
L
a
±
θ
a
, (L
a
±
)
+
=L
a
±
,
так что из (29.9) следуют уравнения
[L
a
±
,q
l±
(x)]=-
∑
l'
λ
a
ll'
q
l'±
(x) , q
l±
≡
1±γ5
2
q
l
.
(29.10)
Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид42д)
42д) Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями для свободных полей (приложение Е); это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовопетлевевую теорию
L
a
±
(t)=:
∫
1
0
𝑑⃗x
∑
ll'
q
l±
(x)γ
0
λ
a
ll'
q
l'±
(x): , t=x
0
.
(29.11)
В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам
J
aμ
±
(x)=:
∑
ll'
q
l
(x)λ
a
ll'
γ
μ
1±γ5
2
q
l'
(x): .
(29.12)
Если рассматриваемая симметрия точная, то ∂μJaμ±=0; тогда легко видеть, что величины La±(t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29.9) и (29.10), например, так:
[L
a
±
(t),q
l±
(x)]=-
∑
l'
λ
a
ll'
q
l'±
(x) , t=x
0
.
(29.13)
Совокупность преобразований
U
±
(θ,t)=exp
⎧
⎨
⎩
-i
2
∑
L
a
