S
=
T exp i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x).
(2.1а)
Здесь ℒ0int(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:
S
=
T exp i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x)
≡
1 + i
∫
d
4
xℒ
0
int
(x) + …
+
i
n
∫
d
4
x
1
… d
4
x
n
Tℒ
0
(x
1
) … ℒ
0
(x
n
) … .
n!
int
int
(2.1б)
Часто вместо матричных элементов S-матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (или произведений токов), а также матричные элементы составных операторов более общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия ℒ0int вспомогательные члены. Предположим, например, что рассматривается матричный элемент вида
⟨a
|
TJ
μ
(x)J
ν
(y)
|
b⟩
1
2
(2.2)
где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан ℒint слeдyющим выражением:
ℒ
φ
=
ℒ
+ J
(x)Φ
μ
(x) + J
(x)Φ
μ
(x) ,
int
int
1μ
1
2μ
2
(2.3)
в котором поля φ являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем
⟨
a
|
T exp i
∫
d
4
x ℒ
φ
int
(x)
|
b
⟩
= ⟨
a
|
b
⟩ +
i
⟨
a
|
∫
d
4
x
{
ℒ
0
(x) +
∑
J
0
(x)Φ
μ
(x)
}
|
b
⟩
int
iμ
i
i
+ … +
i
n
n!
⟨
a
|
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
T
×
{
ℒ
0
int
(x
1
) +
∑
J
0
iμ
(x
1
)Φ
μ
i
(x
1
)
}
× …
i
×
{
ℒ
0
int
(x
n
) +
∑
J
0
iμ
(x
n
)Φ
μ
i
(x
n
)
}
|
b
⟩ + … .
i
Предположим, что поля φ бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка O(φ) и O(φ2). Последние имеют вид
i
n
⟨
a
|
∫
d
4
x
1
…d
4
x
n
∑
Tℒ
0
(x)
1
…
[
ℒ
0
(x)
i
]
…
n!
int
int
ij
×
[
ℒ
0
(x)
j
]
… ℒ
0
(x)
n
J
0
(x)
i
J
0
(x)
j
J
|
b
⟩
Φ
μ
(x)
i
Φ
ν
(x)
j
;
int
int
1μ
1ν
1
2
здесь символ [ℒ] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Записывая поля φ в виде φiμ = εiμδ(x-yi), дифференцируя по переменным ε1 и ε2 и полагая ε1 = ε1 = 0, получаем уравнение Гелл-Манна - Лоу
⟨a|TJ
μ
1
(x)J
ν
2
(y)|b⟩
=
δ
2
δΦ
1μ
(x)δΦ
2ν
(y)
×
⟨a|T exp i
∫
𝑑
4
z
{
ℒ
0
int
(z) +
∑
i
J
0
iλ
(z)Φ
λ
i
(z)
}
|b⟩
=
