⟨p,σ|ΤJ
μ
(z)J
ν
(0)|p,σ⟩
=
⎡
⎢
⎢
⎣
Τ'
μν
ij
=-
d
C
F
δ
ij
g²
1
4
∑
σ
u
(p,σ)
×
∫
d
D
k
̂
γα(p+k)γμ(p+k+q)γν(p+k)γα
(p+k)4(p+k+q)²k²
u(p,σ)
⎤
⎥
⎥
⎦
+
"кросс"-член.
Используя соотношение
∑
σ
u
(p,σ)ℳu(p,σ)=Tr(
p
ℳ) ,
выделяя член, пропорциональный произведению qμqν , и вводя фейнмановские параметры, находим
Τ'
NS
L
=
g²
16π²
C
F
8
x
∫
1
0
d
α⋅α
∫
1
0
d
β
(1-u2)u1
[1-u2-(1-(u1+u2)/x]²
,
где u1=αβ и u2=1-α . Разлагая в ряд по степеням 1/x и интегрируя, получаем
Τ'
NS
L
=
g²
16π²
4C
F
∞
∑
n=1
1
n+1
⎛
⎜
⎝
1
x
⎞n
⎟
⎠
Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициентов при четных степенях 1/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1/x в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид
Τ
NS
L
=
2g²
16π²
4C
F
∞
∑
n четн
4
n+1
⎛
⎜
⎝
1
x
⎞n
⎟
⎠
(21.7)
Записывая аналог выражения (19.18), находим
B
n(1)NS
L
=
4
n+1
C
F
,
n — четное число
μ
NS
L
(n,Q²)
=
δ
NS
L
αs(Q²)
π
⋅
CF
n+1
μ
NS
2
(n,Q²) .
(21.8)
Детальное изложение вычислений других коэффициентов B можно найти в статье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:
C
(1)
NS
(n)
=
C
(1)
F
(n)
=
C
F
⎧
⎨
⎩
2[S
1
(n)]²+3S
1
-2S
2
(n)-
2S1(n)
n(n+1)
=
+
3
n
+
4
n+1
+
2
n²
-9
⎫
⎬
⎭
,
(21.9 а)
C
(1)
V
=
4Τ
F
n
ƒ
⎧
⎨
⎩
-
1
n
+
1
n²
+
6
n+1
-
6
n+2
-S
1
(1)
n²+n+2
n(n+1)(n+2)
⎫
⎬
⎭
.
(21.9 б)
Поскольку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений. Для несинглетного случая имеем
μ
NS
(n,Q²)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
αs(Q
2
0 )
αs(Q
2
)
⎤d(n)
⎥
⎥
⎦
×
1+C
(1)
NS (n)αs(Q
2
)/4π
1+C
(1)
NS (n)αs(Q
2
0 )/4π
⎧
⎨
⎩
1+β1αs(Q
2
)/4πβ0
1+β1αs(Q
2
0 )/4πβ0
⎫p(n)
⎬
⎭
×
μ
NS
(n,Q
2
0
);
p(n)
=
½
⎧
⎨
⎩
γ
(1)
NS
(n)/β
1
-γ
(0)
NS
(n)/β
0
⎫
⎬
⎭
.
(21.10)
Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C(1)(n), имеющей матричные элементы C(1)12(n)=C(1)V(n) , C(1)11(n)=C(1)F(n) ,
C
(1)
21
(n)=
D21(n)
D12(n)
C
(1)
12
(n) ,
C
(1)
22
(n)=C
(1)
11
(n)+
D22(n)-D11(n)
D12(n)
C
(1)
12
(n) .
Если принять такое определение, то матрицы C(1) и D коммутируют. Введем обозначения α для αs(Q²) и α0 для αs(Q²0) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]
