…
D
μn
q(0):+… .
(18.6)
В пределе x→0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени x. Но такое утверждение неверно для разложения на световом конусе. В этом случае нас интересует поведение в пределе x2→0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент x→0. Поэтому при разложении на световом конусе все производные в правой части (18.6) дают одинаковые вклады.
Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:
V
μ
a
(x)
=
∑
ƒƒ'
:
q
ƒ
(x)λ
a
ƒƒ'
γ
μ
q
ƒ'
(x): ,
A
μ
a
(x)
=
∑
ƒƒ'
:
q
ƒ
(x)λ
a
ƒƒ'
γ
μ
γ
5
q
ƒ'
(x): ,
V
μ
0
(x)
=
∑
ƒ
:
q
ƒ
(x)γ
μ
q
ƒ
(x): ,
A
μ
0
(x)
=
∑
ƒ
:
q
ƒ
(x)γ
μ
γ
5
q
ƒ
(x): .
(18.7)
Этим токам можно придать единообразный вид, полагая λ0ƒƒ'=䃃' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде
J
μ
em
=
1
2
⎧
⎨
⎩
V
μ
3
+
1
√3
V
μ
8
⎫
⎬
⎭
.
(18.8)
Отметим, что матрицы λ действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q1=u, q2=d, q3=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.
Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, T-произведение двух векторных токов можно записать в виде
TV
μ
a
(x)V
ν
a
(y)
=
∑
T:
q
iα
(x)λ
a
ik
γ
μ
αβ
q
kβ
(x):
:
q
jδ
(y)λ
b
jl
γ
ν
δρ
q
lρ
(y):
=
z2→0
2ncδab(gμνz2-2zμzν)
π4(z2-i0)4
⋅1
+
∑
(iƒ
abc
+d
abc
)γ
μ
αβ
S
βδ
(x-y)γ
ν
δρ
:
q
α
(x)λ
c
q
ρ
(y):
+
∑
(-iƒ
abc
+d
abc
)γ
ν
αβ
S
βδ
(y-x)δ
μ
δρ
:
q
α
(y)λ
c
q
ρ
(x):
+
… ,
(18.9)
где z=x-y, nc — число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : :qqqq:. Как объяснялось выше, в случае разложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При получении формулы (18.9) использованы соотношение
Tq
β
(x)
q
δ
(y)=
-:
q
δ
(y)q
β
(x):
+S
βδ
(x-y) ,
и свойства матриц λ и γ (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:
S(z)
≃
z2→0
i z
(2π)2(z-i0)2
,
которое легко получить из формулы для пропагатора
S(z)=
i
(2π)4
∫
d
4
p e
-ip⋅z
p+m
p2-m2+d0
(приложение Е). После некоторых вычислений с γ-матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду
TV
μ
a
(x)V
ν
b
(y)
=
z2→0
2i
∑
(iƒ
abc
+d
abc
)
×
⎧
⎨
⎩
S
μανβ
zα
(2π)2(z2-i0)2
:
q
(x)λ
c
γ
β
q(y):
+
iε
μανβ
zα
(2π)2(z2-i0)2
:
q
(x)λ
c
γ
β
γ
5
q(y):
⎫
⎬
⎭
+
