21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей ZωF, ZemF и т.д.
Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор Σi:qi(x)qi(x)≡M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной ququ и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z-1Fququ , проводя подстановки g→gu=Zgg для константы связи и m→mu=Zmm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель ZM, называемый перенормировочным множителем оператора:
M
R
(x)=Z
M
M(x) .
(13.2)
Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q0≡q0u или B0≡B0u. В терминах свободных полей оператор MR записывается в виде
M
R
(x)=Z
M
T:
q
0
(x)q
0
(x):
exp i
∫
d
4
zℒ
0
int
(z) .
В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид
M
R
(x)
=
Z
M
Z
-1
F
:
q
0
(x)q
0
(x):
=
-
g
2
2!
Z
M
∑∫
d
4
z
1
d
4
z
2
T
:
q
0
(x)q
0
(x):
:
q
0
(z
1
)t
a
γ
μ
q
0
(z
1
):
×
q
0
(z
2
)t
b
γ
ν
q
0
(z
2
):
B
μ
0a
(z
1
)
B
ν
0b
(z
2
) .
(13.3)
Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид ZM=1+O(g2), множителем ZM во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы MR по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и MR соответственно через ⟨M⟩p и ⟨MR⟩p. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим
⟨M
R
⟩
p
=
Z
M
Z
-1
F
⟨M
0
⟩
p
+
i⟨M
0
⟩
p
⎧
⎨
⎩
g
2
C
F
∫
d
D
k̂
-γ
μ
(
p
+
k
)(
p
+
k
)γ
μ
k
2
(p+k)
4
+S
u
(p)+S
u
(p)
⎫
⎬
⎭
.
(13.4)
где
M
0
≡
:
q
0
q
0
: .
Рис. 9. Перенормировка оператора qq.
Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов Su в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем ZF; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:
-iC
F
g
2
∫
d
D
k
(2π)
D
ν
4-D
0
γ
μ
γ
μ
k
2
(p+k)
2
div
=
4g
2
C
F
16π
2
Γ(ε/2)(4π)
ε/2
ν
ε
0
.
Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором Su , получаем
Z
M
(ν)=1-
3C
F
α
g
4π
⎧
⎨
⎩
2
ε
+log 4π-γ
E
-log ν
2
/ν
2
