1
(x
1
)…Φ
N
(x
N
)⟩
0
;
(9.8)
где Kk - обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S-1R(p), для глюонных полей iK(p)=D-1R(p) и т.д.13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина
13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы SR и DR перенормированы, функция Грина содержит множитель Z-½Φ для каждой величины KΦ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z½Φ.
ΓuD(p1,…pN-1;m,g,λ),
используя для этого лагранжиан ℒξuD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина ΓR получается из неперенормированной функции Грина ΓuD:
Γ
R
(p
1
,…p
N-1
;m,g,λ)
=Z
-½
…Z
-½
Γ
(p
,…,p
;Z
m
m,Z
g
g,Z
λ
λ).
Φ1
ΦN
uD
1
N-1
(9.9)
Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров 14).
14 Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.
m
uqD
=Z
mq
m
q
,
λ
uD
=Z
λ
λ,
g
uD
=Z
g
;
(9.10)
тогда выражение (9.9) принимает вид
Γ
R
(p
1
,…p
N-1
;m,g,λ)
=Z
-½
…Z
-½
Γ
(p
,…,p
;m
uD
,g
uD
,λ
uD
).
Φ1
ΦN
uD
1
N-1
(9.11)
Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения αg≡g2/(4π) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:
S
R
(p; g
R
, m
R
, λ
R
) = Z
½
Z
½
S
(p; Z
g
g, Z
m
m, Z
λ
λ).
F
F
uD
Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Zg и Zλ можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи αg. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка
S
R
(p; g,m,α)=Z
-1
i
=iZ
-1
1-C
F
g
2
A
Dε
(p
2
)
.
F
(
p
- Z
m
m)
F
p
- Z
m
m{1-C
F
g
2
B
Dε
(p
2
)}
Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора SR при некотором заданном 4-импульсе p=p̅.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор SR совпадал с пропагатором свободной частицы
S
(p̅; q,m,α) =
i
.
R
p
̅ - m
(9.12)
Таким образом, находим, что при р̅2=-μ2 перенормировочный множитель ZF имеет вид
Z
F
≡
Z
ξ
(μ
2
,m
2
)
FD
=
1
-
C
F
α
g
{
(1-ξ)N
ε
-1-
∫
1
dx[2(1-x)-ξ]
4π
0
×
log
xm
2
+x(1-x)μ
2
+ξ(μ
2
+m
2
)
∫
1
dx
x
}
,
ν
2
0
0
m
2
+μ
2
x
(9.13)
Z
m
≡
Z
m
(μ
2
,m
2
)
=
1-C
F
α
g
{
3N
ε
-1-2
∫
1
dx(1+x)log
xm
2
+x(1-x)μ
2
4π
0
ν
2
0
+
ξ(μ
2
+m
2
)
∫
1
dx
x
}
.
0
m
2
+μ
2
x
(9.14)
Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя ZF зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Zm калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Zm все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя ZF означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель ZF конечен в калибровке Ландау, когда ξ=114a)
