(7.1а)
где
k̂
μ
=ν
4/D-1
k
μ
/2π.
0
(7.1б)
При этом вводится нарушающий масштабную инвариантность произвольный параметр ν0, имеющий размерность массы.
В качестве первого примера применения этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущений:
S
ij
(p)=
∫
d
4
xe
ip⋅x
⟨Τq
i
(x)
q
j
(0)⟩
0
.
ξ
(7.2)
Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — ε для пропагатора S имеем выражение вида
S
ij
(p)
Dξ
=
δ
ij
i
-
1
p
-m+i0
p
-m+i0
×
g
2
∑
t
a
t
a
Σ
(2)
(p)
i
il
lj
Dξ
p
-m+i0
l,a
+
члены высших порядков,
(7.3а)
где введено обозначение
Σ
(2)
(p)=-i
∫
d
D
k̂
γ
μ
(
p
+
k
+m)γ
ν
⋅
-g
μν
+ξk
μ
k
ν
/k
2
.
Dξ
(p+k)
2
-m
2
k
2
(7.3 б)
Рйс. 4. Кварковый пропагатор (а) и итерация (б)
Используя тождество
k(p+k+m) = (p+k)2-m2-(p2-m2)-(p-m)-k,
для массового оператора получаем выражение
Σ
(2)
(p)
Dξ
=
-i
∫
d
D
k̂
{
(D-2)(
p
+
k
)-Dm-ξ(
p
-m)
k
2
[(p+k)
2
-m
2
]
-
ξ(p
2
-m
2
)
k
}
.
k
4
[(p+k)
2
-m
2
]
После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в пределе ε→0) приходим к окончательному ответу
Σ
(2)
(p)=(
p
-m)A
Dξ
(p
2
) +
mB
Dε
(p
2
);
Dξ
(7.4 а)
A
Dε
=
1
{
(1-ξ)N
ε
-1-
∫
1
dx[2(1-x)-ξ]log
xm
2
-x(1
-x)p
2
16π
2
0
ν
2
0
-
ξ(p
2
-m
2
)
∫
1
dx
x
}
;
0
m
2
-xp
2
(7.4 б)
B
Dξ
=
1
{
-3N
ε
+1+2
∫
1
dx(1+x)log
xm
2
-x(1
-x)p
2
16π
2
0
v
2
0
-
ξ(p
2
-m
2
)
∫
1
dx
x
0
m
2
-xp
2
(7.4 в)
Здесь введено обозначение Nε=2/ε-γE+log4π.
В размерной регуляризации все полосы появляются именно в такой комбинации. Используя равенство
∑
t
a
t
a
=C
F
δ
ij
=
4
δ
ij
il
lj
3
(см. приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и получить кварковый пропагатор в виде
S
Dε
(p)=i
{
p
-m+g
2
C
F
Σ
(2)
}
-1
;
(7.5 а)
S
Dε
=
i
1-C
F
g
2
A
Dε
(p
2
)
+члены высших порядков.
p
-m{1-C
F
g
2
B
Dε
(p
2
)}
(7.5 б)
В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене Σ(2) на Σexact представляет собой наиболее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов:
1-C
F
g
2
(1-ξ)N
