aβ
β
a
a
β
×
[
-(2k+q)
ν
g
aβ
+(k-q)
β
g
νa
+(2q+k)
a
g
νβ
]}
.
(5.4 б)
Используя соотношение ∑ƒƒ=δaa'CA (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора Πμνaa' следующее выражение:
Π
μν
=
δ
aa'
C
A
g
2
32π
2
aa'
×
{[
19
N
ε
+
1
-
∫
1
dx(11x
2
-11x+5)log(-x(1-x)q
2
)
]
q
2
g
μν
6
2
0
-
[
11
N
ε
+
2
-
∫
1
dx(-10x
2
+10x+2)
3
3
0
×
log(-x(1-x)q
2
)
]
q
μ
q
ν
}
;
N
ε
≡
2
-
γ
E
+log 4π ,
ε = 4-D → 0 .
ε
(5.5)
Оно расходится в пределе ε→0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im Τ=(1/2)ΤΤ+. Но Im Τ получается из выражения (5.4) заменой тензора ∏ на его мнимую часть Im ∏, которая, согласно (5.5), имеет вид
Im Π
μν
(q) =
δ
aa'
C
A
g
2
θ(q
2
)
{
-
19
q
2
g
μν
+
22
q
μ
q
ν
}
,
aa'
32π
2
6
6
(5.6)
и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине
½
∑
⟨
q
q|
Τ
|c,phys.⟩⟨c,phys.|
Τ
+
|
q
q
⟩ ,
c,phys.
т.е. квадрату амплитуды процесса qq→BB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im Τ c заменой мнимой части поляризационного оператора Im Πaaμν(q) на комбинацию
δ
aa'
C
A
∑
Α
μ
(k
1
,k
2
;η
1
η
2
)
Α
*
ν
(k
1
,k
2
;η
1
η
2
)
η1,η2
k1+k2=2
(5.7 a)
Рис. 2. Мнимая часть величины Τ.
где параметр η=± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции Αμ имеют вид
Α
μ
=
[(k
+q)
g
μ
-(q+k
)
g
μ
+(k
-k
)
μ
g
]
1
β
α
2
α
β
2
1
αβ
×
ε
α
(k
,η
)ε
β
(k
,η
) .
p
1
1
p
2
2
(5.7 б)
Здесь εp - вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением
ε
α
(k,η)=
1
{ε
(1)α
(k) + iηε
(2)α
(k)} ,
p
√
2
содержащим тетрады ε(i), определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности kαεαp(k,η) = 0, k2 = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k1 + k2)
Α
μ
=[2k
g
μ
-2k
+(k
-k
)
μ
g
]ε
α
(k
,η
)ε
β
(k
,η
).
1β
α
1α
2
1
αβ
β
1
1
p
2
2
Легко убедиться в справедливости равенства qμΑμ = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует
q
Π
μν
(q) ≠ 0.
μ
aa'
Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (ду́хи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом ℒξint. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан ℒξ, добавляя в него члены, отвечающие ду́хам, в результате чего полный лагранжиан ℒξall принимает вид
