Это — главная цитата для любых размышлений о математических мотивах в «Братьях Карамазовых». Здесь формулируется определенная аксиоматика и утверждается, что объектом исследования станет только и исключительно имманентный — замкнутый в себе — мир. Фактически Бог интересует Ивана Федоровича в данном случае не больше, чем боги интересовали Эпикура — пусть живут себе на Эмпиреях и хорошо себя чувствуют, но к земным делам они касательства не имеют. Создали мир — и спасибо. Отдыхайте.

Рассуждения Ивана основываются в первую очередь на уверенности в том, что человек способен создавать аксиоматики — системы безусловных предпосылок, из которых все остальное дедуктивно следует. На самом деле существование многих и различных систем аксиом совершенно не очевидно. Во всяком случае, и Евклид, и Кант были убеждены, что аксиомы создает не человек, а Творец, а роль человека куда более скромная — эти аксиомы попробовать выяснить (априорно или эмпирически). Первым человеком, который сознательно пошел на создание новой системы геометрических аксиом (а никаких других явно выраженных аксиоматик в тот момент просто не существовало в математике), был Николай Лобачевский (1792 — 1856). Он усомнился в правоте евклидовой геометрии, которая строилась как идеальный образ реального пространства. Но пространство — только одно, его познание (по Канту) — априорно, и значит, может существовать только одна верно описывающая его геометрия. Лобачевский предпринял попытку доказать, что геометрия Евклида верна не всегда, а только для небольших мас­штабов измерений. В своей работе «О началах геометрии» (1829) Лобачев­ский оценивает отклонение суммы углов от 180 градусовв треугольнике, образованном неподвижной звездой (в одном из экспериментов это — Сириус) и двумя точками земной орбиты. (В геометрии Лобачевского в качестве той аксиомы, которая не верна для евклидова пространства, может быть принята и такая: сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов — аксиома параллельных в варианте Лобачевского из этой аксиомы немедленно следует.) В экспериментах, выполненных Лобачевским, отклонения от евклидовой суммы — 180 градусов — оказались меньше, чем погрешность измерения. Масштаб оказывается слишком малым, чтобы проверить, какую же геометрию имеет реальное пространство. Но Лобачевский ставит вопрос о глубоком различии между геометрией как логической структурой и геометрией как отражением физической реальности. Он пишет в своей работе: «Новая (неев­клидова) Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики»8 .

Совершенно не случайно разговор Ивана с Алешей начинается с рассуждений старшего брата о геометрии Лобачевского. Иван утверждает (следуя здесь Канту), что представление о пространстве у человека не является эмпирическим, а является априорным: Бог создал человека с представлением о трех измерениях пространства, а в качестве геометрии пространства и даже бытия утвердил — евклидову. Иван принимает это определение. Хотя почему эта истина лучше (или точнее) описывает мир, чем предположения «некоторых геометров и философов» о том, что параллельных линий просто не существует и две любые прямые всегда пересекаются? Ведь никто никогда не видел непересекающихся прямых линий — для этого потребовалось бы прогуляться в бесконечность и вернуться обратно. И может быть, куда естественнее было бы согласиться с тем, что никаких параллельных прямых линий просто нет? Эмпирически — с точки зрения здравого смысла — само существование параллельных прямых — сомнительно. А мнение «некоторых геометров» пожалуй что и более основательно9 .

Сама возможность сомнения (можно, следуя Декарту, назвать его «методологическим»), возможность формулирования более чем одной системы аксиом, является в данном случае для Ивана крайне плодотворным прецедентом. И он приступает к формулированию своих аксиом — нравственных — и проверке их опытом. Его задача — построить непротиворечивую и основанную на своего рода априорной «очевидности» систему. Исследовать ее полноту, то есть возможность применения (в данном случае — нравственной оценки) ко всем вообще событиям мира. Выяснить в процессе построения необходимость Христа в этой системе. Можно ли обойтись без гипотезы Бога, как это сделал Лаплас при описании Солнечной системы?

Когда Иван формулирует основное утверждение геометрии Лобачевского — новую формулировку пятого постулата Евклида, он делает это абсолютно некорректно. Иван формулирует постулат в том виде, в котором его обычно и сегодня воспринимает обыденное сознание («здравый смысл»): «Параллельные линии пересекаются». Но параллельные линии пересекаться не могут — потому что они параллельные, то есть другими словами — непересекающиеся. Фраза «параллельные линии пересекаются» лишена смысла, поскольку утверждает в точности то, что параллельные — непараллельны. Лобачевский ничего такого, конечно, сказать не мог.

Пятый постулат Евклида можно сформулировать так (я привожу не оригинальную формулировку, которая была дана Евклидом в «Началах геометрии», а ее современное изложение): через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, параллельную данной. Лобачевский сформулировал этот постулат иначе, что и привело к созданию новой геометрии и в конечном счете — к представлению о том, что аксиоматик, корректно описывающих реальное пространство, может быть более одной. Формулировка Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых линий, параллельных данной. Ни о каком пересечении параллельных здесь речь не идет.

Но дело не в том, верно ли Иван формулирует аксиому геометрии Лобачевского. Иван берет аксиоматику Лобачевского, как бы говоря: вот пример создания новой аксиоматики, а я дам другой — в своей области — области нравственной. «Я хотел заговорить о страдании человечества вообще, но лучше уж остановимся на страданиях одних детей. Это уменьшит размеры моей аргументации раз в десять, но лучше уж про одних детей. Тем невыгоднее для меня, разумеется. Но, во-первых, деток можно любить даже и вблизи, даже и грязных, даже дурных лицом (мне, однако же, кажется, что детки никогда не бывают дурны лицом). Во-вторых, о больших я и потому еще говорить не буду, что, кроме того, что они отвратительны и любви не заслуживают, у них есть и возмездие: они съели яблоко и познали добро и зло и стали „яко бози”. Продолжают и теперь есть его. Но деточки ничего не съели и пока еще ни в чем не виновны… Если они на земле тоже ужасно страдают, то уж, конечно, за отцов своих, наказаны за отцов своих, съевших яблоко, — но ведь это рассуждение из другого мира, сердцу же человеческому здесь на земле непонятное. Нельзя страдать неповинному за другого, да еще такому неповинному!.. Дети, пока дети, до семи лет например, страшно отстоят от людей: совсем будто другое существо и с другою природой» (т. 9, стр. 267). Иван начинает с утверждения абсолютных истин, он рассматривает предельный, пограничный случай. Его аксиомы таковы: во-первых, дети — невинны, они яблоко не съели, во-вторых, справедливость в мире должна быть — «нельзя страдать неповинному за другого» — и должна торжествовать немедленно — сейчас и здесь, а не в бесконечности. В мире должно быть адекватное имманентное воздаяние за всякий благой и преступный поступок. Мир, в котором не выполняется хотя бы один из этих постулатов, внутренне противоречив и недостоин существования. При этом Иван поступает именно как математик — он рассматривает мир (бытие, пространство) как замкнутую систему, которую можно описать, перечислив набор аксиом и указав логически корректные правила вывода. Ум Ивана, вопреки его словам, совсем неевклидов. «Эвклидов ум» не может рефлексировать по поводу собственной евклидовости. Иван уже отравлен сомнением в единственности евклидова описания мира. А для этого необходимо осознавать возможность (хотя бы теоретическую) другого, неевклидова варианта10 .