Родился Алексей Самуилович Грейг 6 сентября 1775 года в Кронштадте. Крестили первого сына С. К. Грейга Императрица и граф А. Г. Орлов-Чесменский. За заслуги отца, тогда главного командира Кронштадтского порта, вскоре после рождения (12 октября) по повелению Екатерины II ребенок получил чин мичмана. В 1785 году Императрица произвела мальчика в лейтенанты и назначила адъютантом отца. Самуил Карлович был благодарен за великую честь. Но дальнейшее продвижение по службе не было столь легким. Уже с десяти лет, 23 июня 1785 года, Алексея послали на стажировку в Англию. Он начал морскую практику на английских судах, получил чин лейтенанта и 19 мая 1788 года, по возвращении в Россию, был назначен на корабль «Мстислав», ходивший по Финскому заливу. После смерти отца, 4 декабря 1788 года, Императрица произвела A. C. Грейга в капитан-лейтенанты. 9 сентября 1789 года Алексей с братом Карлом был послан на стажировку за границу. В 1789–1791 годах братья волонтерами ходили в Китай и Индию на судне Ост-Индской компании «Ласекс», участвовали в сражении с французским приватиром и голландскими судами. Вернувшись на родину 17 августа 1791 года, Алексей Грейг пробыл в России лишь год и вновь, по повелению Екатерины II, был направлен за границу, служил волонтером на военных судах, ходил в Средиземное море. По возвращении 28 апреля 1796 года Алексея Грейга назначили на корабль «Ретвизан», который под командованием бригадира П. В. Чичагова отправился с эскадрой к берегам Англии. Там Грейг принял в командование фрегат «Архангел Михаил», командир которого загулял, и повел его в Россию. Фрегат у мыса Порккала-Удд потерпел крушение, так как команда оказалась в загуле, однако морской суд признал молодого командира невиновным. По определению суда за знания и распорядительность, проявленные при старании спасти судно, Грейга произвели 17 декабря 1796 года в капитаны 2-го ранга. В 1797 году Грейг состоял при Кронштадтском порту. 9 мая 1798 года он получил в командование корабль «Ретвизан», крейсировал в эскадре вице-адмирала Макарова с английскими кораблями у острова Тексель и получил похвальный отзыв Г. Нельсона.

1 января 1799 года Грейга произвели в капитаны 1-го ранга. Командиром «Ретвизана» он участвовал с эскадрой вице-адмирала Макарова в экспедиции 1799 года к берегам Голландии, тогда находившейся под командованием Наполеона, и пленении голландского флота.

До начала августа союзный флот под флагом адмирала Дункана крейсировал у Текселя. В его составе был и «Ретвизан». 4 августа прибыла эскадра вице-адмирала Митчелла, включавшая 180 судов, на которых находилась дивизия Аберкромби из 12 600 человек, предназначенная к высадке. 10 августа Дункан отправил адмиралу голландского флота и коменданту крепости Гельдерн предложение о сдаче и приготовился к атаке. Парламентер привез отказ. Шторм утром 11 августа заставил союзников отойти к Текселю. 15 августа, когда волнение утихло, союзный флот обложил Гельдерн в несколько линий. Первую составили бомбардирские и мелкие суда, вторую — фрегаты и шлюпы, третью — транспорты и гребные суда. Линейные корабли Митчелла и Макарова на левом фланге наблюдали за батавским[12] флотом, а Дункан и Тет охраняли высадку с правого фланга.

16 августа в 12.30 вице-адмирал Макаров получил письмо Дункана, в котором тот предлагал по сигналу послать гребные суда к транспортам для перевозки войск; на британских, затем на русских кораблях вместе с кормовыми были подняты флаги принца Оранского. Союзники демонстрировали, что идут не с целью агрессии, а для возвращения власти законному правителю.

Корабль «Ретвизан», идя за английским кораблем, встал на мель. При отливе пришлось укрепить корпус стрелами, чтобы тот не упал. До ночи снять «Ретвизан» не удалось, шторм угрожал гибелью корабля. Тогда Грейг предложил оригинальное решение: приказал обрубить якорные канаты, поднять стаксели, и ветром судно сдвинуло с мели. Корабль после небольшого ремонта продолжил участвовать в действиях. Сам Алексей Самуилович в донесении писал, что «находился в совершенно отчаянном состоянии, и не иначе как особливым Божиим милосердием спасен». Однако очевидно, что «чудо» произошло благодаря решительности и умению моряка.

Тем временем гребные суда перевозили войска на сушу под прикрытием огня британских кораблей, стрелявших до 20.00. К вечеру после кровопролитного боя батавские войска оставили Гельдерн; их потери составили полторы тысячи человек против 350 у союзников. 17 августа англичане высадили остальные пять тысяч войск. Под их натиском голландцы отошли в глубь страны. К 15.00 с запада подошли до 42 судов, в том числе 4 корабля, 2 фрегата, 2 шлюпа британского флота, и встали вблизи корабля Митчелла.

Успех десанта повлиял на состояние голландского флота. В 5.00 стоявшие в северном проходе у Текселя голландские корабли ушли за возвышенность мыса Какдоун. 19 августа корабли «Ретвизан», «Европа», «Мстислав» были присоединены к отряду Митчелла и 20 августа участвовали в сдаче голландского флота англичанам.

19 августа 11 союзных кораблей, 6 фрегатов, 4 корвета Митчелла и Тета вошли на Тексельский рейд и стали против батавского флота; распространенные на берегу прокламации с призывом восстановить власть штатгальтера и флаги принца Оранского на мачтах союзных кораблей сделали свое дело: матросы отказались стрелять в союзников, выбросили снаряды в море, и голландскому адмиралу пришлось капитулировать. Союзники отправили свои команды на суда. «Ретвизан» и «Мстислав» взяли два корабля, в том числе флагман «Вашингтон»; он был доставлен в Англию «Ретвизаном», а флаг и вымпел с другого корабля отправили в Россию и поместили в Петропавловской крепости Санкт-Петербурга; командовавший «Ретвизаном» A. C. Грейг был награжден орденом Святой Анны II степени, а в 1802 году за то же получил орден Святого Георгия IV степени. Так как при Павле I никто не был награжден орденом Святого Георгия, в июне 1801 года граф Кушелев писал:

«Государь Император Высочайше указать мне соизволил, за взятие вами при атаке и сдаче голландского у Гельдернской крепости флота в 1799 году корабля „Вышектота“ [„Вашингтона“. — Н. С.] объявить вам Монаршее Его величества благоволение, предоставляя вам право, так как от командовавшего тогда российского эскадрою представления о том не было, просить о награждении вас за дело сие в капитуле ордена Святого Великомученика Георгия, когда оный откроет свои заседания в Петербурге». В 1802 году Дума удостоила Грейга ордена Святого Георгия IV степени.

В кампании 1800 года Грейг командовал у берегов Англии кораблем «Ретвизан», на котором поднял флаг контр-адмирал П. В. Чичагов. 25 июня 1801 года капитан 1-го ранга привел корабль в Кронштадт. Будущий министр морских сил России заметил способности Грейга и в дальнейшем не раз давал ему ответственные поручения. В 1801–1803 годах Грейг состоял первоприсутствующим в экспедиции для исправления Кронштадтского порта; за успешное выполнение поручения моряк получил монаршее благоволение и благодарность.

Вступивший на престол Александр I обещал править по образу царствования Екатерины II. В первую очередь была ликвидирована опасность войны с Англией, ибо флот Г. Нельсона угрожал российским портам на Балтике.

Новому Императору, в детстве получившему образование либерального оттенка, требовались молодые, надежные соратники для проведения в жизнь реформ, в том числе и на флоте.

Император, не знавший морского дела, считал флот в полном упадке. Потому, когда он учредил Комитет для исправления флота, в наказе он поставил задачей «…извлечение флота из настоящего мнимого его существования и по приведению его в подлинное бытие». 12 мая 1802 года Александр I назначил П. В. Чичагова в свою свиту. 24 августа моряк стал членом Комитета по образованию флота и докладчиком Императору по делам комитета. К работе комитета Чичагов привлек Грейга, который стал в его составе единственным неадмиралом.