Применение закона Лапласа к поверхности раздела вода — пар в капилляре:

р = р₁ - p₂ ; R₁ и R₂ — радиусы кривизны в точке О вогнутой поверхности (R₁ = ОА и R₂ = ОВ) определяются в двух взаимно перпендикулярных сечениях ACD и BEF.

Лапласа неизменяемая плоскость

Лапла'са неизменя'емая пло'скость, плоскость, проходящая через центр масс Солнечной системы перпендикулярно вектору момента количества движения. Понятие Л. н. п. было введено в 1789 П. Лапласом, указавшим на преимущества её использования в качестве основной координатной плоскости при изучении движений тел Солнечной системы: в то время как положения плоскостей эклиптики и экватора непрерывно изменяются, Л. н. п. сохраняет своё положение в пространстве неизменным. Для того чтобы определить положение Л. н. п. относительно плоскости эклиптики, необходимо знать числовые значения масс всех планет. Поскольку с развитием астрономических исследований эти величины постепенно уточняются, то и параметры, определяющие положение Л. н. п., несколько изменяются. Положение Л. п. п. относительно эклиптики в эпоху 1950,0 определяется следующими элементами: эклиптическая долгота точки пересечения с эклиптикой W = 107° 13,3' ± 2,1’, наклон i = 1°38'49’’± 22’’.

  Г. А. Чеботарев.

Лапласа оператор

Лапла'са опера'тор, лапласиан, дельта-оператор, D-оператор, линейный дифференциальный оператор, который функции j(x₁, x₂,..., x_n) от n переменных x₁, x₂,..., x_n ставит в соответствие функцию

  Dj =

.

  В частности, для функции j(x, y) двух переменных х, у Л. о. имеет вид

  Dj =

,

  а для функций одной переменной j(x) Л. о. совпадает с оператором второй производной

  Dj =

.

  Л. о. встречается в тех задачах математической физики, где изучаются свойства изотропной однородной среды (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости и т.п.).

  Уравнение Dj = 0 обычно называется Лапласа уравнением; отсюда и произошло название Л. о.

Лапласа преобразование

Лапла'са преобразова'ние, преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ¥), называемую «оригиналом», в функцию

 

 (1)

  комплексного переменного р =s +it. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат — функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласомв ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей», вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер.

  При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях — по формуле обращения:

 

 (2)

  Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

 

,

 

, n = 1, 2, …,

 

, t >0.

  Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у’’ + у = f (t), y (0) = y’ (0) =

  и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

  то L [y’’] = p²Y (p)

  и p²Y (p) + Y (p) = F (p),

  откуда

 

  Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

  Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления, в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) — функция pF (p).

  Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p= s + it. Если интеграл (1) сходится в точке р, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р—р) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число s_с, что при Re p > s_c интеграл (1) сходится, а при Re р < s_с расходится. Число s_с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) —аналитическая функция в полуплоскости Re р > s_с.

  Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. — Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.

Лапласа теорема

Лапла'са теоре'ма, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай Л. т. был известен А. Муавру(1730), в связи с чем Л. т. иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка Л. т. такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0<р<1) и пусть m обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства

 

  при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от

 

.

  Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m = X₁ + ...+ X_n. Это позволяет рассматривать Л. т. как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы.