Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u² ,..., uⁿ .

  Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' Í R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁ , v₂ Î R' ) вектор lv (при любом l ) и вектор v₁ + v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁ ,v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁ , x₂ ,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_p x_p . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁ . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂ . В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁ , x₂ ,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u² ,..., uⁿ ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.

  Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у ) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

  1) (х, у ) = (у, х ) (перестановочность);

  2) (x₁ + x₂ , y ) = (x₁ , y ) + (x₂ , y ) (распределительное свойство);

  3) (ax, у ) = a (х, у ),

  4) (х, х ) ³ 0 для любого х , причем (х, х ) = 0 только для х = 0 .

  Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством . Длина |x | вектора x и угол

 между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

 

  Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство Eⁿ получим, определяя в n -мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l₁ , …, l_n ) и y = (m₁ , …, m_n ) соотношением

  (x, y ) = l₁ m₁ + l₂ m₂ +… + l_n m_n .     (2)

  При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

  В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у ) = 0. В рассмотренном пространстве Eⁿ условие ортогональности векторов x = (l₁ , …, l_n ) и y = (m₁ , …, m_n ), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

  l₁ m₁ + l₂ m₂ +… + l_n m_n = 0. (3)

  Применение В. п . Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yⁿ + a₁ (x ) y ^{(n + 1 )} + … + a_n (x ) y = 0 . Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

 

  Рассмотрим в евклидовом пространстве Eⁿ векторы a_i = (a_i1 , a_i2 , …, a_in ), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u₁ , u₂ ,..., u_n ). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов Eⁿ , придадим системе (4) следующий вид:

  (a_i , u ) = 0, i = 1, 2, …, m .   (5)

  Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a_i . Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a_i , то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a_i . Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства . Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С .

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.

  Э. Г. Позняк.

Вектор-потенциал

Ве'ктор-потенциа'л, см. Потенциалы электромагнитного поля .

Вектор-функция

Ве'ктор-фу'нкция, векторная функция, функция, значения которой являются векторами; см. Векторное исчисление .