Рис. 6 к ст. Векторное исчисление.

Рис. 5 к ст. Векторное исчисление.

Рисунки 8, 9 к ст. Векторное исчисление.

Рисунки 1—4 к ст. Векторное исчисление.

Рис. 7 к ст. Векторное исчисление.

Ве'кторное по'ле , область, в каждой точке Р которой задан вектор а (Р ). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор-функции a (Р ) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и процессов (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразные применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление ).

  Лит.: Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.

  Э. Г. Позняк.

Ве'кторное произведе'ние вектора а на вектор b — вектор, обозначаемый [а, b ] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b ] равна произведению длин векторов а и b на синус угла j между ними (берётся тот из двух углов между а и b , который не превосходит p ), 2) вектор [а, b ] перпендикулярен вектору а и вектору b , 3) тройка векторов а , b , [а, b ], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление ). В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (например, момент силы F, приложенной к точке М относительно точки О , есть В. п. [

  Лит.; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.

  Э. Г. Позняк.

Ве'кторное простра'нство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

  Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

  1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

  2) (х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);

  3) имеется нулевой вектор (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

  4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,

  5) 1 · х = х,

  6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);

  7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);

  8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

  Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

  a₁ e₁ + a₂ e₂ + … + a_n e_n    (1)

  называется линейной комбинацией векторов e₁ , e₂ ,..., e_n с коэффициентами a₁ , a₂ ,..., a_n . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a₁ , a₂ ,..., a_n отличен от нуля. Векторы e₁ , e₂ ,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁ , e₂ ,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁ ,e₂ ,..., e_n называется линейно независимыми.

  Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

  В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁ , e₂ ,..., e_n , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁ , e₂ ,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

  x = a₁ e₁ + a₂ e₂ +... + a_n e_n .

  При этом числа a₁ , a_2, ..., a_n называются координатами вектора х в данном базисе.

  Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l ₁ , l ₂ ,..., l _n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

  (l₁ , l₂ , …, l_n ) + (m₁ , m₂ , …, m_n ) = (l₁ + m₁ , l₂ + m₂ , …, l_n + m_n );

  a (l₁ , l₂ , …, l_n ) = (al₁ , al₂ , …, al_n ).

  Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

  Множество R всех многочленов a + a₁ u + … + a_n uⁿ (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a , a₁ ,..., a_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u² ,..., uⁿ (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.