Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В называется объединением событий A ₁ , A ₂ ,..., A_r ,-, если оно имеет вид: «наступает или A₁ , или А₂ ,..., или A_r ».

  Событие С называется совмещением событий A₁ , А.₂ ,..., A_r , если оно имеет вид: «наступает и A₁ , и A₂ ,..., и A_r ». Объединение событий обозначают знаком È, а совмещение — знаком Ç. Таким образом, пишут:

  B= A₁ È A₂ È … È A_r , C = A₁ Ç A₂ Ç … Ç A_r .

  События А и В называют несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

  С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две основные теоремы В. т. — теоремы сложения и умножения вероятностей.

  Теорема сложения вероятностей. Если события A₁ , A₂ ,..., A_r таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

  Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В — «сумма очков не превосходит 4», есть объединение трёх несовместных событий A₂ , A₃ , A₄ , заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятность Р (В ) равна

  1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

  Условную вероятность события В при условии А определяют формулой

  что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A₁ , A₂ ,..., A_r называются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его «безусловной» вероятности (см. также Независимость в теории вероятностей).

  Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A₁ , A₂ ,..., A_r равна вероятности события A₁ , умноженной на вероятность события A₂ , взятую при условии, что А₁ наступило,..., умноженной на вероятность события A_r при условии, что A₁ , A₂ ,..., A_r-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:

  P (A₁ Ç A₂ Ç … Ç A_r ) = P (A₁ ) · P (A₂ ) · … · P (A_r ),     (3)

  то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.

  Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

  Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2·2·2·2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н. н, н) следует положить равной 0,2·0,8·0,8·0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = 1—0,2 — вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию «в цель попадают три раза» благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у). (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:

  0,2·0,2·0,2·0,8 =...... =0,8·0,2·0,2·0,2 = 0,0064;

  следовательно, искомая вероятность равна

  4·0,0064 = 0,0256.

  Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул В. т.: если события A₁ , A₂ ,..., A_n независимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно m из них равна

  P_n (m ) = C_n^m p^m (1 - p )^n-m ;      (4)

  здесь C_n^m обозначает число сочетаний из n элементов по m (см. Биномиальное распределение ). При больших n вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности

  Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема )

  причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем В. т.

  К числу основных формул элементарной В. т. относится также так называемая формула полной вероятности: если события A₁ , A₂ ,..., A_r попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме

  Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний T₁ , T₂ ,..., T_n-1 , T_n , если каждый исход испытания Т есть совмещение некоторых исходов A_i , B_j ,..., X_k , Y_l соответствующих испытаний T₁ , T₂ ,..., T_n-1 , T_n . Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

  P (A_i ), P (B_j /A_i ), …, P (Y_l /A_i Ç B_j Ç … Ç X_k ). (5)

  По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р (Е ) для всех исходов Е составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P (A_i ), P (B_j ),..., P (Y_l ); б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно: P (A_i ), P (B_j /A_i ),..., P (Y_i / X_k ). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями Р (А_i ) и переходными вероятностями P (B_j / A_i ),..., P (Y_l / X_k ) (см. также Марковский процесс ).