Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала

 

  при условии

 

  фазовый вектор x (t ) должен удовлетворять ещё некоторым граничным условиям.

  В своей классической постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u (t ). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u (t ) — тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента uⁱ (i = 1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям

 

  где а^-_i и a⁺_i — некоторые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

  Таким образом, в технике появилось много задач, которые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительных ограничениях типа (10), записываемых в форме u ÎG_u , где G_u — некоторое множество, которое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили название задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u (t ) при помощи уравнения (8) и получить систему уравнений, которая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа j . Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме следующей теоремы: для того чтобы функции

 и  были решением задачи оптимального управления чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u (t ) доставляла максимум функции Гамильтона

 

  где y — множитель Лагранжа (импульс), который является ненулевым решением векторного уравнения

 

  Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n (n — размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы

 было не стационарным значением функции Гамильтона Н, а доставляло максимум Н.

  Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (х, t ) — значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция

 была оптимальным управлением, необходимо (а в некоторых случаях и достаточно), чтобы функция s (х, t ) удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению с частными производными:

 

  называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование ).

  Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J (x ) весьма общего вида, задаваемых на множествах G_x элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т.д.

  Уже в 19 в. была обнаружена глубокая связь между некоторыми проблемами теории уравнений с частными производными и вариационными задачами. П. Дирихле показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению некоторой вариационной задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания. Рассмотрим один пример.

  Предположим, что имеется некоторое линейное операторное уравнение

  Ax = f,      (11)

  где х (x, h) — некоторая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. При предположениях, естественных для некоторого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (11) эквивалентна отысканию минимума функционала

 

  где W — область, ограниченная кривой Г.

  уравнение (11) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (12). Редукция задачи (11) к (12) возможна, например, если А — самосопряжённый и положительно определённый оператор. Оператор Лапласа

 

  удовлетворяет этим требованиям. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами имеет большое практическое значение. Она позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности и сыграла важную роль в кристаллизации понятия об обобщённом решении. Эта редукция очень важна также и для вычислит, математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы вариационного исчисления.

  В перечислении основных разделов современного В. и. нельзя не указать на глобальные задачи В. и., решение которых требует качественных методов. Искомое решение вариационной задачи удовлетворяет некоторому сложному нелинейному уравнению и краевым условиям. Естественно поставить вопрос о том, сколько решений допускает эта задача. Примером такой задачи является вопрос о количестве геодезических, которые можно провести между двумя точками на заданной поверхности. Проблема подобного рода относится уже к компетенции качественной теории дифференциальных уравнений и топологии. Последнее обстоятельство очень характерно. Методы, специфические для смежных дисциплин, топологии, функционального анализа и т.д., всё шире начинают применяться в В. и. В свою очередь, идеи В. и. проникают во всё новые области математики, и грань между В. и. и смежными областями математики теперь провести уже трудно.

  Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. — Л., 1950; Блисе Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961; Математическая теория оптимальных процессов, М., 1969.

  Н. Н. Моисеев.

Вариационные принципы механики

Вариацио'нные при'нципы меха'ники. Принципами механики называются исходные положения, отражающие столь общие закономерности механических явлений, что из них как следствия можно получить все уравнения, определяющие движение механической системы (или условия её равновесия). В ходе развития механики был установлен ряд таких принципов, каждый из которых может быть положен в основу механики, что объясняется многообразием свойств и закономерностей механических явлений. Эти принципы подразделяют на невариационные и вариационные.