(2) Традиционно считается (см. Comm. in Arist. Graeca, pars XV, Berlin,
1879, p. 117, 29; pars XVIII, Berlin, 1900, p. 118, 18), что изречение у
входа в платоновскую Академию гласило: «Да не переступит этого порога тот,
кто не искушен в геометрии!». Как мне представляется, этот лозунг не
только подчеркивал важность математических исследований, но и означал
следующее: «Арифметики (точнее — пифагорейской теории чисел) недостаточно
— вы должны знать геометрию!». Я попытаюсь в общих чертах пояснить, почему
последняя фраза верно отражает самое важный вклад Платона в
науку. См. также «Дополнение I» к тому 1.
Теперь уже общеизвестно, что подход ранних пифагорейцев к геометрии
методологически был сходен с тем, что сегодня называют
«арифметизацией». Геометрия считалась частью теории чисел (или
«натуральных» чисел, т.е. чисел, составленных из монад или «неделимых
единиц» — см. «Государство», 525 е) и теории их «λογοι»,
т.е. «рациональных» отношений. Пифагорейские прямоугольные треугольники,
например, могли иметь стороны, отношения между которыми выражались
отношениями или пропорциями целых чисел (3:4:5 или 5 : 12 : 13). Общая
формула вывода таких пропорций, открытие которой приписывается Пифагору,
имеет такой вид:
2n + 1 ÷ 2n (n + 1) ÷ 2n (n + 1) + 1
Однако эта формула, полученная при наблюдении за «гномоном», не является
достаточно универсальной, что показывает следующий пример —
8:15:17. Универсальной формулой, из которой выводится пифагорейская путем
подстановки m = n + 1, является:
m2 - n2 ÷ 2mn ÷ m2 + n2,
где m > n, а "÷" — знак пропорции.
Поскольку эта формула легко выводится из теоремы Пифагора (применяя
некоторые алгебраические приемы, которые, по-видимому, уже были известны
ранним пифагорейцам) и поскольку она, очевидно, не была известна не только
Пифагору, но и Платону (который, согласно Проклу, вывел другую
неуниверсальную формулу), то можно сделать вывод о том, что «теорему
Пифагора» в общем виде не знал ни Пифагор, ни даже Платон. (Менее
радикальный взгляд на эту проблему изложен в книге Т. Хита: Т. Heath. A
History of Greek Mathemathscs, 1921, vol. 1, p. 80-82. Формула, которую я
назвал «универсальной», принадлежит Евклиду. Ее можно получить из излишне
усложненной формулы, которую Хит приводит на с. 82 своей книги, сначала
получив значение длины трех сторон треугольника и умножив полученные
результаты на 2/m, а затем произведя замену m на n и p на d.)
Открытие иррациональности значения квадратного корня из двух (об этом
открытии Платон упоминает в «Гиппии Большем» и в «Меноне» — см. прим. 10 к
гл. 8, а также Аристотель. «Первая Аналитика», 41а 26 и след.) доказало
невозможность осуществления пифагорейской программы «арифметизации»
геометрии, а вместе с тем, по-видимому, и нежизнеспособность самого
пифагорейского Порядка. Сведения о том, что это открытие сначала не
подлежало разглашению, подтверждаются тем фактом, что Платон первоначально
все еще называл иррациональное термином «αρρητοσ», т.е. секрет,
сокровенная тайна — см. «Гиппий Больший», 303 b/с, «Государство», 546
с. (Позднее он стал употреблять термин «несоизмеримость» — см. «Теэтет»,
147 с, и «Законы», 820 с. Термин «αλογοσ» впервые появился, по-видимому, у
Демокрита, написавшего сочинение из двух книг под названием «Об
иррациональных линиях и атомах» или «О несозмеримых линиях и телах»,
которое было утеряно. Платону был известен термин «αλογοσ», о чем
свидетельствует презрительное упоминание названия труда Демокрита в
«Государстве», 534 d, но он никогда не использовал его в качестве синонима
термину «αρρητοσ». Первое несомненное использование термина «αλογοσ» в
этом смысле мы находим у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b
9. См. также книгу Т. Heath, op. cit., vol. I, p. 84 и след., р. 156 и
след. и мое «Дополнение I» в конце тома 1.)
Крушение пифагорейской программы арифметизации геометрии привело,
по-видимому, к разработке аксиоматического метода Евклида,
предназначенного, с одной стороны, спасти от краха то, что еще можно было
спасти в математике (в том числе и метод рациональных доказательств), и с
другой стороны, ассимилировать факт несводимости геометрии к
арифметике. Поэтому весьма вероятно, что Платон сыграл чрезвычайно важную
роль в переходе от древнего пифагорейского метода к методу Евклида —
фактически, он был одним из первых создателей специфически геометрической
методологии, цель которой состояла в покрытии издержек краха
пифагореизма. Все это, конечно, следует рассматривать лишь как смелую
историческую гипотезу, хотя некоторые аргументы в ее пользу можно найти у
Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9 (об этом фрагменте я уже упоминал
ранее), особенно если сравнить этот отрывок с тем, что сказано в
«Законах», 818 с, 895 е (о четном и нечетном), 819 е/820 а и 820 с (о
несоизмеримости). Аристотель пишет: «Арифметика [исследует], что такое
нечетное и четное… геометрия — что такое несоизмеримое» (см. также
«Первую Аналитику», 41а 26 и след., 50а 37, и «Метафизику», 983а 20, 1061b
1-3, где проблема несоизмеримости трактуется как принадлежащая к
геометрии, и 1089а, где, как и во «Второй Аналитике», 76b 40, есть намек
на «Теэтет», 147 d, в котором говорится о свойствах квадрата со стороной в
одну стопу.) То, что Платона глубоко интересовала проблема
иррациональности, хорошо показывают два упомянутых ранее отрывка:
«Теэтет», 147 с-148 а, и «Законы», 819 d-822 d, где он говорит о том, что
ему жаль тех греков, которые не дожили до открытия великой проблемы
несоизмеримости величин.
Теперь я хотел бы высказать гипотезу о том, что платоновская «теория
первичных тел» (см. «Тимей» 53 с-62 с, возможно, даже вплоть до 64 а, а
также «Государство», 528 b-d) была одним из средств решения этой
проблемы. Эта теория, сохраняя, с одной стороны, пифагорейский атомизм,
т.е. учение о неделимых единицах («монадах»), которые фигурировали также и
в более поздних атомистических учениях, с другой стороны, ассимилирует
иррациональные величины (квадратные корни из двух и трех), так как закрыть
глаза на их присутствие в мире было уже невозможно. В этой теории
говорится о двух труднопостижимых треугольниках: один из них образуется
двумя сторонами и диагональю квадрата и имеет гипотенузу, кратную
квадратному корню из двух, а другой получается путем проведения из вершины
равностороннего треугольника высоты, длина которой кратна квадратному
корню их трех. Учение о том, что эти два иррациональных треугольника
являются пределами («περασ» — см. «Менон», 75 d-76 а) или формами всех
элементарных физических тел может быть названо одной из центральных
физических доктрин «Тимея».
Все это наводит на мысль, что предупреждение, обращенное Платоном ко всем,
кто несведущ в геометрии (упоминание об этом можно найти в «Тимее», 54 а),
могло иметь достаточно определенную направленность, о которой мы говорили
ранее, и что оно могло быть связано с верой в то, что геометрия важнее
арифметики (см. «Тимей», 31 с). Это, в свою очередь, могло бы объяснить
нам, отчего «равенство отношений» (пропорцию), которое Платон считал более
аристократичным, чем демократическое арифметическое или численное
равенство, он позднее отождествил с «геометрическим равенством»,
упоминаемом в «Горгии», 508 а (см. прим. 48 к настоящей главе), а также
почему многие (например, Плутарх, loc. cit.) отождествляли арифметику с
демократией, а геометрию со спартанской аристократией, вопреки тому почти
забытому ныне факту, что пифагорейцы были не менее аристократично
настроены, чем сам Платон, и что в их программе главное внимание уделялось
арифметике, а термин «геометрическое» на их языке означал некоторый род
числовых (т.е. арифметических) отношений.