Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

 Если бы вы отвечали за управление моделируемой организации, было бы вам комфортно, если бы стабильное равновесие находилось близко к нестабильному?

 Существуют ли значения

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
, для которых
Математические модели в естественнонаучном образовании - _273.jpg
 может быть больше
Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
? Имеет ли это какой-либо смысл?

 Если без проведения сокращений численность сотрудников не имеет устойчивого равновесия, то может ли принудительное сокращение привести к стабильности? Имеет ли это экономический смысл?

 Используйте программу longterm.m для создания диаграмм, показывающих изменения моделируемой численности в долгосрочной перспективе по мере изменения параметров модели.

% longterm.m

fun = @(x,r) x + r*x*(1-x);

x0 = .99; a0 = 0; a1 = 3; N = 777; preL = 200; L = 100;

mat = bifur(fun,x0,a0,a1,N,preL,L);

function mat = bifur(fun,x0,a0,a1,N,preL,L,p_siz)

% –

% Функция bifur: строит однопараметрическую диаграмму бифуркаций

% Вход: fun = некоторая функция @(x,para)

%        x0 = стартовое значение для x

%        a0 = начальное значение параметра a

%        a1 = конечное значение параметра a

%         N = количество интервалов для параметра 'a' на отрезке [a0;a1]

%      preL = количество предварительно пропускаемых итераций для

%             преодоления переходного процесса перед стабилизацией

%         L = количество итераций для каждой начальной пары

%               от (x0,параметр a)

%        p_siz = размер маркера, по умолчанию 1

% Выход: mat = бифукационная матрица размера N на L

%               которая хранит последовательность длины L

%               для каждой пары (x0, параметр a)

% –

% установки по умолчанию

if ~exist('p_siz','var')

    p_siz = 1;

end

% инициализация

mat = zeros(N,L);

a = linspace(a0,a1,N);

% основной цикл

format long

for i = 1:N

    ca = a(i); % выбрать одно значение параметра в каждый момент времени

    for j = 1:L % сгенерировать последовательность длиной L

        if j == 1

            pre = x0; % инициализируем стартовое значение

            for k = 1:preL % пропускаем значения переходного процесса

               nxt = fun(pre,ca);

               pre = nxt;

            end

        end

        nxt = fun(pre,ca); % вычисляем следующее значение последовательности

        mat(i,j) = nxt; % сохраняем в результирующей матрице mat

        pre = nxt; % последнее значение будет начальным для следующей итерации

    end

end

% построение графика

dcolor = [0,0,1]; % настройка цвета маркера: синий

[r,c] = meshgrid(1:L,a); % наполяем сетку данных координат

surf(r,c,mat,'Marker','*','MarkerSize',p_siz,'FaceColor','None','MarkerEdgeColor', dcolor,'EdgeColor','None')

view([90,0,0]) % фиксируем направление камеры

ylim([a0,a1]) % размещаем данные на диаграмме

end

2. Для популяции со временем регенерации значительно меньшей единицы времени может быть неуместно думать о пропускной способности как о константе. Исследуйте, что произойдет, если пропускная способность изменяется синусоидально. Для начала попробуйте понять следующие команды MATLAB:

t=[0:50]

K=5+sin((2*pi/12)*t)

p=.1; pops=p

for i=1:50

    p=p+.2*p*(1-p/K(i));

    pops=[pops p];

end

plot(t,K,t,pops)

Рекомендации

 Объясните, почему синусоидально изменяющаяся пропускная способность может иметь физический или социально-экономический смысл при некоторых обстоятельствах.

 Исследуйте поведение модели для различных вариантов

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 и
Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
. Колеблется ли
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 вместе с
Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
? Обратите особое внимание на то, когда популяция достигает пика и каково среднее значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _7.jpg
 в долгосрочной перспективе. Соответствуют ли результаты машинных экспериментов вашей интуиции?

 Что происходит, если изменяется частота колебаний пропускной способности? Попробуйте заменить

Математические модели в естественнонаучном образовании - _277.jpg
 в предыдущем примере на
Математические модели в естественнонаучном образовании - _278.jpg
 при разных N.

 По мере увеличения

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

3. Изучите, что произойдет, если пропускная способность изменяется случайным образом в логистической модели, и, в частности, влияние такой пропускная способность на небольшие популяции. Нужно будет знать, что команда rand(1) в MATLAB выдает случайное число в диапазоне от 0 до 1 с равномерным распределением, и что randn(1) генерирует случайное число из нормального распределения с матожиданием 0 и стандартным отклонением 1. Можете начать с использования программы onepop.m с выражением типа 10 + rand(1) в качестве пропускной способности в логистической модели.

Рекомендации

 Возможно, 10*rand(1) или 10+2*randn(1) были бы лучшей формулой для значений

Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
 в экспериментальной модели. Опишите качественные различия между реальными ситуациями, которые могут описывать эти математические выражения.

Для выбранного выражения изучите поведение модели для различных вариантов

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 и
Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
. Как ведет себя
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
? Каково среднее значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _7.jpg
 в долгосрочной перспективе? Соответствуют ли результаты вашей математической интуиции?

 По мере увеличения

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

 Исследуйте, что происходит, если численность популяции небольшая и принимает целые значения. В MATLAB команда floor(p) возвращает ближайшее целое число меньше или равное

Математические модели в естественнонаучном образовании - _279.jpg
. Модель будет похожей на
Математические модели в естественнонаучном образовании - _280.jpg
, где значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
 сначала задаётся константой, а затем изменяется случайным образом.

1.4. Вариации на тему логистической модели

Представляя дискретную логистическую модель в предыдущих разделах, старались делать модель максимально простой, чтобы сосредоточиться на разработке основных идей. Теперь, когда концепции равновесия и стабильности, а также техника построения паутинных диаграмм были разработаны, можно уделить больше внимания созданию более реалистичной модели.

Рассматривая график функции

Математические модели в естественнонаучном образовании - _26.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 на рисунке 1.9, для модели
Математические модели в естественнонаучном образовании - _281.jpg
, одной из очевидных, но реально невозможных особенностей динамического поведения моделируемой численности, является тот факт, что парабола опускается ниже горизонтальной оси, когда отклоняемся достаточно далеко вправо. Это означает, что большие популяции
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 становятся отрицательными на следующем временном этапе. Хотя можно интерпретировать отрицательную популяцию как вымершую, либо как долг, кредитное плечо, в экономических приложениях, но это может быть не то поведение, которое на самом деле произойдет и которое хотели бы, чтобы модель описала.

16
{"b":"788195","o":1}