Начнём разбирать перечисленные вопросы с помощью самой простой математической модели изменяющейся численности населения.

1.1. Мальтузианская модель

Предположим, мы выращиваем не будущих математиков, а популяцию какого-то организма, скажем, мух, в лаборатории. Представляется разумным, что в любой данный день численность населения будет меняться из-за новых рождений, так что оно увеличивается за счет добавления определенной доли f от имеющегося населения. При этом часть d от имеющегося населения погибнет, условно, как бы цинично это не звучало, но многие профессиональные математики после выпуска вынуждены работать не по специальности, что смерти подобно.

Рассмотрим простейшую прикладную модель, которую предложил Томас Мальтус в своём очерке 1798 года о принципе народонаселения, неоднократно подвергавшемся всесторонней критике. Если люди живут в течение 70 лет, то мы ожидаем, что из большой популяции примерно 1/70 населения будет умирать каждый год; таким образом,

. Если, с другой стороны, мы предположим, что на каждые сто человек приходится около четырех рождений в год, мы имеем . Обратите внимание, что в этом случае мы выбрали год в качестве единиц времени.

Вопросы для самопроверки:

– Объясните, почему для любой популяции

 должно быть в диапазоне от 0 до 1.  Что будет означать ?  Что будет означать ?

– Объясните, почему

 должно быть не менее 0, но может быть больше 1. Можете ли вы назвать реальные популяции (при должном выборе единицы времени), для которых  будет больше 1?

– Используя годы в качестве единицы времени, какие значения f и d будут уместны для моделирования числа выпускников естественно-научного профиля? Гуманитарного? Социально-экономического? Технологического и универсального?

Чтобы смоделировать значения P сфокусируемся на следующем за P изменении численности. Формально

. Это означает, что, учитывая текущее значение , скажем, , а также  и , например,  и , можно предсказать изменение . Таким образом, в начале следующего временного периода суммарная численность составляет .

Введём несколько вспомогательных обозначений для упрощения восприятия математической модели. Пусть

 – размер популяции, измеренный в момент времени , тогда  это приращение или изменение численности между последовательными моментами времени.

Ясно, что

 зависит от , поэтому можно встретить подстрочный индекс  рядом с , так как для разных значений  приращение  оказывается разным. Тем не менее, этот индекс не редко пропускают.

Теперь то, что нас в конечном итоге волнует, это понимание динамики популяции

, а не только приращения . Но . Объединив константы вместе, обозначив за , модель стала гораздо проще: .

Популяризаторы науки часто называют константу

 конечной скоростью роста населения. (Слово «конечный» используется, чтобы отличить это число от любого вида мгновенной скорости, которая включала бы производную, как вы знаете из курса дифференциального исчисления. Для значений , , и  использованных ранее, вся модель теперь имеет вид , где . Первое уравнение, выражающее  через , называется разностным уравнением, а второе, задающее , является его начальным условием.  С этими двумя уравнениями легко составить таблицу значений численности  с течением времени, как в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Рост популяции по простой модели

Момент времени         Численность

0                                          500

1                                          (1. 07)500 = 535

2                                          (1. 07)²500 = 572.45

3                                          (1. 07)³500 ≈ 612.52

…                                         …

По закономерностям в таблице 1.1 легко перейти от рекуррентного соотношения для

 к замкнутой форме записи, чтобы осталась только зависимость от  в явном виде: . На этой модели теперь легко предсказать численность популяции в любое время.

Может показаться странным называть

 разностным уравнением, когда разность  там не появляется. Однако уравнения  и  эквивалентны, поэтому любое из них разумно определять одним и тем же термином.

Пример. Предположим, что система математического образования имеет очень жесткие ограничения на целевые цифры приёма в ВУЗы (что вполне реалистично на просторах СНГ), по которым каждый год выпускается 200 молодых специалистов и все сотрудники пенсионного возраста уходят на заслуженный отдых. После того, как состоялся очередной выпуск, только 3% остаются работать по специальности, чтобы связать свою профессиональную деятельность с математикой, остальные либо эмигрируют, либо находят выше оплачиваемую работу. Чтобы написать разностное уравнение в этой системе, где будем измерять

 в поколениях, нужно просто заметить, что уровень «смертности» равен , в то время как эффективная «плодовитость» системы равна . Следовательно, .