Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

б. Найдите уравнение той же формы, описывающее ту же модель, но для популяции, измеряемой в единицах, выбранных таким образом, чтобы пропускная способность составляла 1 в этих единицах. Для начала определите пропускную способность исходной модели.

1.2.9. Метод построения паутинной диаграммы для изучения итерированных моделей не ограничивается только моделированием логистического роста, описанного выше. Определите графически популяции в каждой из моделей на рисунке 1.5 выполнив шесть итераций приращения, используя отмеченные начальные значения численности популяции

Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
.

а.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _159.jpg

б.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _160.jpg

в.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _161.jpg

г.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _162.jpg

Рисунок 1.5. Паутинные диаграммы для задачи 1.2.9.

1.2.10. Приведите формулу для графика, изображенного в части (а) рисунка 1.5. Как называется такая модель?

1.2.11. Некоторые из одних и тех же идей и моделей, используемых в исследованиях популяций, появляются в совершенно неожиданных научных областях.

a. Часто химические реакции протекают со скоростью, пропорциональной количеству участвующего в реакции вещества. Предположим, что используется очень малый временной интервал, чтобы смоделировать такое действие разностным уравнением. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно

Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
, и то первое химическое вещество, которое изначально имеется в количестве
Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
, преобразуется во второе химическое вещество, которое получается в количестве
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
 в момент времени
Математические модели в естественнонаучном образовании - _14.jpg
. Опираясь на свои школьные знания, объясните, почему
Математические модели в естественнонаучном образовании - _163.jpg
. Какие значения
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 являются допустимыми? Какой смысл имеет
Математические модели в естественнонаучном образовании - _101.jpg
? Как выглядит график функции
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _14.jpg
?

b. Химические реакции называются автокаталитическими, если скорость, с которой они происходят, пропорциональна как количеству сырья, так и количеству продукта, тот есть продукт реакции отказывается её катализатором. Модно снова использовать очень малый интервал времени для моделирования такого действия, но уже с помощью другого уравнения. Пусть общее количество химических веществ участвующих в реакции равно

Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
 и то одно химическое вещество преобразуется в другое химическое вещество, которое получается в количестве
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
.  Объясните, почему в данном случае
Математические модели в естественнонаучном образовании - _164.jpg
.  Если
Математические модели в естественнонаучном образовании - _101.jpg
 мало, но не равно нулю, то как будет выглядеть график функции
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _14.jpg
? Если
Математические модели в естественнонаучном образовании - _165.jpg
, то как будет выглядеть график функции
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _14.jpg
? Можете ли интуитивно объяснить форму полученного графика? Обратите внимание на тот факт, что
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 будет очень маленьким, потому что используется небольшой интервал времени. Модель логистического роста в таких случаях иногда также называют автокаталитической моделью.

Заметим, что пришедшая из химии автокаталитическая модель применима, среди прочего, для моделирования динамики трудовой миграции в сфере математического образования.

1.3. Анализ нелинейных моделей

В отличие от простой линейной модели, описывающей экспоненциальный рост, нелинейные модели, такие как дискретная логистическая, могут описывать достаточно сложную динамику поведения. Без сомнения, это стало заметным в ходе выполнения некоторые упражнений из предыдущего раздела.

В этом разделе рассмотрим несколько конкретных типов поведения и разработаем простые инструменты для их изучения.

Начнём с моделирования таких явлений, как переходные процессы, равновесие и стабилизация. Полезно выделить несколько аспектов, связанных с поведением динамической модели. Иногда, несмотря на первоначальную уникальность, после того как прошло много шагов, поведение модели становится шаблонным. Первые несколько шагов итерации, однако, могут не указывать на то, что подобное произойдет в долгосрочной перспективе. Например, с дискретной логистической моделью

Математические модели в естественнонаучном образовании - _166.jpg
 и большинство начальных значений
Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
, первые несколько итераций модели производят относительно большие изменения в
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 по мере дальнейшего приближения к 10. Таким образом, подобное поведение на ранней стадии называется переходным, потому что оно в конечном итоге сменяется другим поведением. Однако это не означает, что переходные процессы не вызывают интереса, поскольку реальные популяции вполне могут переживать кризисные ситуации, которые продолжают возвращать популяцию обратно на переходный этап.

Как правило, исследователей интересует долгосрочное поведение модели. Причина этого заключается в том, что изучаемая система не должна быть разрушена раньше, чем прекратятся переходные процессы. Часто, но далеко не всегда, долгосрочное поведение не зависит от точной численности исходной популяции. В модели

Математические модели в естественнонаучном образовании - _167.jpg
, долгосрочное поведение для большинства начальных значений заключается в том, что популяция становится очень близкой к
Математические модели в естественнонаучном образовании - _133.jpg
. Заметим, что если
Математические модели в естественнонаучном образовании - _168.jpg
, то
Математические модели в естественнонаучном образовании - _169.jpg
, следовательно в дальнейшем численность популяции никогда не поменяется. Таким образом,
Математические модели в естественнонаучном образовании - _170.jpg
 является равновесием (или стационарной, фиксированной точкой) модели.

Определение.   Равновесным значением для модели

Математические модели в естественнонаучном образовании - _171.jpg
 является значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 такое, что
Математические модели в естественнонаучном образовании - _172.jpg
. Это эквивалентно тому, что для модели
Математические модели в естественнонаучном образовании - _173.jpg
 существует значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 такое, что
Математические модели в естественнонаучном образовании - _174.jpg
.

Нахождение равновесных значений сводится к решению уравнения равновесия. Для модели

Математические модели в естественнонаучном образовании - _175.jpg
, решив уравнение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _176.jpg
 видим, что существует ровно два равновесных значения:
Математические модели в естественнонаучном образовании - _177.jpg
 и  
Математические модели в естественнонаучном образовании - _178.jpg
.

10
{"b":"788195","o":1}