Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

 

Математические модели в естественнонаучном образовании - _234.jpg

Рисунок 1.7 Результаты роста значения

Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
, полученные из двух близких начальных значениях
Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
 для логистической модели
Математические модели в естественнонаучном образовании - _226.jpg
 при
Математические модели в естественнонаучном образовании - _235.jpg
.

Обратите внимание на тот факт, что, хотя популяции и изменяются похожим образом в течение нескольких первых шагов, после этого они становятся полностью различимыми. В результате для такой пары значений наблюдается чрезвычайная чувствительность модели к начальным условиям. Конечно, это не является доказательством чего-либо, и вполне возможно, что такое поведение было просто последствием череды ошибок компьютерного округления. Однако математиками строго доказано, что это подлинный «хаос».

Возможность хаотического поведения в такой простой популяционной модели, как дискретная логистическая, вызвала большой ажиотаж в 1970-х годах, когда она была впервые опубликована в работе Мэй от 1978 года. Если бы такая простая модель смогла воспроизводить сложное поведение любой динамической системы, то от гипотезы о том, что сложная динамическая система может возникать лишь из сложных взаимодействий и флуктуаций окружающей среды пришлось бы отказаться. Дальнейшая работа Мэй с сотоварищами по вычислению соответствующих значений таких параметров, как

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
, в математических моделях на основании лабораторных и реальных популяциях насекомых заставила их усомниться в том, что хаотическое поведение действительно наблюдается в реальной динамике живых популяций. Тем не менее, исследование эпидемий кори в Нью-Йорке действительно предполагало возможность контролируемого хаоса. Однако эпидемический паротит и ветряная оспа, как оказалось, вели себя отнюдь не хаотично. Хотя та работа все еще не теряет актуальности, существует очень мало данных высокого качества и достаточно длительной продолжительности, чтобы в действительности проверить ключевую идею. В последнее время основное внимание уделялось демографическим моделям, более сложным, чем логистические. Фактически, в 1996 году Кушинг и др. объявили о первом открытии реальной популяции, лабораторной популяции мучного жука триболия, которая демонстрировала хаотическую динамику и опубликовали этот результат в 2001 году.

Задачи для самостоятельного решения:

1.3.1. Точки равновесия модели располагаются там, где график зависимости

Математические модели в естественнонаучном образовании - _26.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 пересекает прямую линию
Математические модели в естественнонаучном образовании - _123.jpg
. Предположим, что фокусируемся на участке графика вокруг точки равновесия и увеличиваем масштаб так, чтобы график функции
Математические модели в естественнонаучном образовании - _26.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 казался прямой линией. В каждой из моделей, показанных на рисунке 1.8, решите, является ли равновесие стабильным или нестабильным, выбрав значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _27.jpg
 близкое к устойчивому состоянию, а затем изобразите паутинную диаграмму.

а.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _236.jpg

б.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _237.jpg

в.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _238.jpg

г.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _239.jpg

Рисунок 1.8. Заготовки паутинных диаграмм для задачи 1.3.1.

1.3.2. Исходя из приведенной выше задачи, в каком диапазоне должен находиться наклон графика функции

Математические модели в естественнонаучном образовании - _26.jpg
 от
Математические модели в естественнонаучном образовании - _17.jpg
 в точке равновесия, чтобы обеспечить стабильность? Неустойчивость? Подсказка: возможно, захотите подумать об особых случаях, взяв наклон сначала −1, а затем 1.

1.3.3. Средствами математического анализа сформулируйте ответ на предыдущую задачу на языке производных: если

Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 является точкой равновесия модели
Математические модели в естественнонаучном образовании - _240.jpg
, то она стабильна, когда выполнено следующее условие _________________ .

1.3.4. С точки зрения математики, имея дело с логистической моделью роста

Математические модели в естественнонаучном образовании - _153.jpg
, всегда можно выбрать единицы, в которых измеряется
Математические модели в естественнонаучном образовании - _241.jpg
 так, чтобы
Математические модели в естественнонаучном образовании - _210.jpg
.Таким образом, можно рассматривать уравнение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _242.jpg
, имеющее только один параметр
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
, а не два. Исследуйте долгосрочное поведение этой модели для различных значений
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
, начиная с .5 и постепенно увеличивая его, используя программу onepop.m для MATLAB из задачи 1.2.4. При каких значениях
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 обнаруживается сходимость к равновесию без колебаний? А при каких
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 сходимость к равновесию осуществляется с колебаниями? При каких
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 появляется 2-цикл? А при каких – цикл длины 4?

1.3.5. В предыдущем упражнении обнаружили, что по мере увеличения

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 после значения 2 популяция перестанет стремиться к
Математические модели в естественнонаучном образовании - _228.jpg
 и вместо этого попадет в цикл длины 2 и более.

а. Покажите, что, несмотря на срыв модели в 2-цикл, единственными точками равновесия по-прежнему являются

Математические модели в естественнонаучном образовании - _243.jpg
 и 1.

б. Если

Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
 попадает в 2-цикл, то
Математические модели в естественнонаучном образовании - _244.jpg
. Поэтому, возможно, стоит найти формулу для
Математические модели в естественнонаучном образовании - _245.jpg
 выраженного через
Математические модели в естественнонаучном образовании - _56.jpg
. Сделайте это для
Математические модели в естественнонаучном образовании - _210.jpg
 и
Математические модели в естественнонаучном образовании - _246.jpg
. Ответ должен оказаться многочленом четвертой степени.

в. Можно ли использовать полученные результаты из части (б) для поиска аналитических формул точек равновесия в 2-цикле, приравняв

Математические модели в естественнонаучном образовании - _247.jpg
? Попробуйте. Не всё может получиться с первого раза, но, по крайней мере, попробуйте объяснить те сложности, с которыми столкнулись.

1.3.6. Для каждого из следующих пунктов определите точки равновесия.

а.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _248.jpg

б.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _249.jpg

в.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _250.jpg

г.

Математические модели в естественнонаучном образовании - _251.jpg

14
{"b":"788195","o":1}