Если параметр

 логистической модели окажется больше только что рассмотренных значений, то популяция не приблизится к равновесию. Когда , получится  и поэтому ранее устойчивое равновесие  становится неустойчивым. Таким образом, происходит резкое качественное изменение поведения численности популяции по мере дальнейшего увеличения параметра . Отсюда возникает интересный вопрос, каковы возможности модели с двумя неустойчивыми равновесиями и без устойчивых. Какое поведение тогда можно ожидать в долгосрочной перспективе?

Компьютерный эксперимент показывает, что для значений

 чуть больше 2 популяция попадает в 2-цикл, её численность бесконечно прыгает взад и вперед между значением выше 1 и значением ниже 1. По мере дальнейшего увеличения  значения в 2-цикле меняются, но наличие 2-цикла сохраняется до тех пор, пока не достигнем другого значения , при котором происходит еще одно внезапное качественное изменение. На этот раз видим, что 2-цикл становится 4-циклом. Дальнейшее увеличение  производит 8-циклы, затем 16-циклы и так далее.

Эта модель приводит к неожиданному, но интересному выводу: одна и та же популяция может демонстрировать разные циклы в своей численности, даже когда окружающая среда совершенно неизменна. Считая, что теоретические предположения в построении математической модели были верны и популяция имеет достаточно большое значение

, на практике она может никогда не достигать ни одного из теоретически существующих равновесных значений.

Хороший способ понять влияние изменения параметра

 на рассматриваемую модель заключается в изображении диаграммы бифуркации на рисунке 1.6. В Maple это изображение легко получить следующей серией команд:

with(IterativeMaps):with(ImageTools):

Logistic := Bifurcation([x], [x + r*x*(1 – x)], [0.99], 1.5, 3):

ArrayTools:-Dimensions(Logistic)

ColouringProcedures:-HueToRGB(Logistic):Embed(Logistic)

 

Рисунок 1.6. Бифуркационная диаграмма логистической модели

. По горизонтальной оси слева направо меняется значение параметра , а по вертикальной снизу вверх отложены циклические аттракторы значений соответствующей популяции.

Рисунок 1.6 получен следующим образом. Для каждого значения

 на горизонтальной оси выбирается некоторое значение  и выполняется итерация модели на несколько временных шагов, чтобы пройти этап переходного процесса, например, раз 200. На практике это означает повторение итераций столько раз, пока не надоест. Затем продолжаются итерации на серии дополнительных шагов, раз 100, но теперь все значения  наносятся на вертикальную ось над конкретным используемым . Это значения будут концентрироваться вокруг своеобразных точек притяжения, формируя так называемые циклические аттракторы.

Чтобы проиллюстрировать процесс для дискретной логистической модели, положим

. Тогда, независимо от , после первого набора большого числа итераций,  будет очень близок к стабильному равновесию . Таким образом, когда строим следующий набор из многих итераций, просто многократно строим точки, которые будут выглядеть так, будто они находятся в . На рисунке 1.6 точки фрагмента этой горизонтальной прямой выделены розовым цветом.

Если теперь продолжить процесс построения диаграммы при

 чуть большем чем 2, то первый набор итераций устремляет значения  в 2-цикл, и затем, когда строится график на последующем наборе итераций, появляются точки, которые циклически перескакивают назад и вперед между двумя значениями, поэтому кажется, будто построили две точки. На рисунке 1.6 точки сформировавшихся в результате ветвей выделены синим.

На этой диаграмме заметно несколько особенностей. Во-первых, интервал значений

, через который получаем -цикл, будет короче, чем для предыдущего -цикла. Таким образом, как только  становится достаточно большим, небольшие дополнительные увеличения его значения имеют более радикальные последствия.

Во-вторых, если

 продолжает увеличиваться после определенной точки (≈2.692…), на рисунке 1.6 этот фрагмент подсвечен красным, то все бифуркации на -циклах произошедшие ранее начинают смешиваться, обнаруживается принципиально иной тип поведения аттракторов. Создается впечатление, что предельные значения модели изменяются более или менее случайным образом. Однако такое поведение, конечно, не случайно – существует полностью детерминированная формула, воспроизводящая его. Техническая терминология для описания того, что произошло, заключается в том, что поведение модели стало хаотичным. Выбор слова «хаос» для описания этого процесса, возможно, неудачен, поскольку вызывает ассоциацию с элементами случайности и изначальной путаницы, которых на самом деле нет. Тем не менее, данная математическая модель прекрасно находит себе практическое применение в современных цифровых криптосистемах и аналоговых системах радиоэлектронной борьбы, поскольку достаточно просто реализуется на аппаратном уровне.

Подобный «хаос» в действительности имеет довольно точное техническое определение, но не будем его приводить. Вместо этого просто неформально укажем на два требования, которые математики предъявляют к употреблению этого слова: 1) модель должна быть детерминированной, то есть в ней не может быть случайности; и 2) прогнозы модели чрезвычайно чувствительны к начальным условиям.

Чтобы увидеть, как именно дискретная логистическая модель проявляет свою хаотичность, например, зафиксировав

, достаточно проиллюстрировать проявление второго требования. На рисунке 1.7 показаны значения , которые возникают из двух разных, но достаточно близких друг к другу значений  и .