Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

Теорема. Если модель

Математические модели в естественнонаучном образовании - _171.jpg
 имеет равновесное значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
, то
Математические модели в естественнонаучном образовании - _198.jpg
 подразумевает, что значение
Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 нестабильно, а при
Математические модели в естественнонаучном образовании - _199.jpg
 , будет
Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 стабильным значением. Если же
Математические модели в естественнонаучном образовании - _200.jpg
, то этой информации недостаточно для определения стабильности и необходимо проводить дополнительное исследование.

Пример. Пусть

Математические модели в естественнонаучном образовании - _201.jpg
, тогда
Математические модели в естественнонаучном образовании - _202.jpg
. Вычислим
Математические модели в естественнонаучном образовании - _203.jpg
. Следовательно,
Математические модели в естественнонаучном образовании - _204.jpg
, поэтому
Математические модели в естественнонаучном образовании - _178.jpg
 стабильно.

Обратите внимание, что в этом примере значение, которое нашли для

Математические модели в естественнонаучном образовании - _205.jpg
, оказалось точно таким же, как значение, которое нашли для «коэффициента растяжения» в примере выше, без использования инструментов дифференциального исчисления. Это, конечно, должно было произойти, потому что то, что привело к производной, изначально было более тщательным исследованием «методом пристального всматривания». Таким образом, производную можно интерпретировать как меру того, насколько быстро функция меняет свои значения.

Поскольку использовался формализованный подход, то есть записывались формулы и уравнения, для иллюстрации тесной связи между понятиями производной и стабилизацией поведения модели, настоятельно рекомендуется решить задачи с 1.3.1 по 1.3.3 в конце раздела, чтобы представить обнаруженную связь графически.

Почему важны как графический, так и аналитический подходы к определению стабильности? Первый является наиболее интуитивным и делает основные идеи наиболее ясными. Что можно было наблюдать на примере. Но слабость такого подхода в том, что он действенен лишь для моделей, включающих простые алгебраические формулы. Если бы в уравнении модели присутствовали экспоненты или другие сложные функции, алгебраические средства оказались бессильны. Когда модель усложняется, математический анализ становится прекрасным подручным инструментом для профессионального исследователя.

При линеаризации для определения стабильности очень важно сосредоточиться на равновесии. Даже не пытайтесь определить является ли точка стабильным или нестабильным равновесием, пока не убедитесь в том, что это точка является равновесием в принципе. Последующий анализ предполагает, что точка

Математические модели в естественнонаучном образовании - _58.jpg
 удовлетворяет равенству
Математические модели в естественнонаучном образовании - _206.jpg
. Например, если бы попытались линеаризовать
Математические модели в естественнонаучном образовании - _207.jpg
 для
Математические модели в естественнонаучном образовании - _208.jpg
 в предыдущем примере, то не смогли бы ничего сделать, потому что 11 не является точкой равновесия.

Наконец, также важно, что проведённый анализ стабильного и неустойчивого равновесия, был локальным, а не глобальным. Эта устоявшаяся терминология означает, что рассмотрели лишь то, что происходит в очень небольших окрестностях вокруг точки равновесия. Хотя устойчивое равновесие будет притягивать все близлежащие значения, это не означает, что значения расположенные далекого тоже должны стремиться именно к нему. Точно так же, как несмотря на то нестабильность равновесие, нельзя утверждать, что далёкие от него значения не будут к нему стремиться или не окажутся вовсе ему равными.

Далее рассмотрим такие явления в динамическом моделировании как колебания, бифуркации и хаос. В задаче 1.2.4 предыдущего раздела исследовалось динамическое поведение логистической модели

Математические модели в естественнонаучном образовании - _209.jpg
 для K = 10 при множестве значений r. На самом деле, параметр
Математические модели в естественнонаучном образовании - _109.jpg
 в модели не очень важен; можно выбрать единицы, в которых измеряется численность популяции так, чтобы пропускная способность стала равна 1. Например, если пропускная способность составляет 10 000 штук, то можно использовать масштабную единицу равную 10 000, и тогда получится
Математические модели в естественнонаучном образовании - _210.jpg
. Это наблюдение позволяет подробно сосредоточиться на том, как параметр
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 влияет на поведение модели.

Зафиксировав

Математические модели в естественнонаучном образовании - _210.jpg
, для любого значения
Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 логистическая модель имеет два равновесных значения, 0 и 1, так как это единственные значения
Математические модели в естественнонаучном образовании - _7.jpg
, которые приводят к
Математические модели в естественнонаучном образовании - _211.jpg
. Как увидите в ходе решения задач чуть позже, «коэффициент растяжения» при
Математические модели в естественнонаучном образовании - _184.jpg
 будет равен
Математические модели в естественнонаучном образовании - _212.jpg
, а при
Математические модели в естественнонаучном образовании - _213.jpg
 равен
Математические модели в естественнонаучном образовании - _214.jpg
.  Поэтому
Математические модели в естественнонаучном образовании - _184.jpg
 всегда является неустойчивым равновесием для
Математические модели в естественнонаучном образовании - _215.jpg
.

Случай

Математические модели в естественнонаучном образовании - _216.jpg
 гораздо интереснее. Во-первых, когда
Математические модели в естественнонаучном образовании - _217.jpg
, что равносильно
Математические модели в естественнонаучном образовании - _218.jpg
, модель имеет стабильное равновесие в точке
Математические модели в естественнонаучном образовании - _216.jpg
. Формула
Математические модели в естественнонаучном образовании - _219.jpg
 показывает, что знак
Математические модели в естественнонаучном образовании - _180.jpg
 при этом никогда не изменится; хотя отклонение уменьшается, первоначально положительное отклонение остается положительным, а изначально отрицательное – отрицательным. Популяция просто движется к равновесию, никогда не превышая его.

Далее, когда

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
 увеличивается настолько, что
Математические модели в естественнонаучном образовании - _220.jpg
, то
Математические модели в естественнонаучном образовании - _221.jpg
 и равновесие будет все еще стабильным. Однако, теперь видим, что так как
Математические модели в естественнонаучном образовании - _222.jpg
, то знак
Математические модели в естественнонаучном образовании - _180.jpg
 будет чередоваться между положительным и отрицательным значением по мере увеличения
Математические модели в естественнонаучном образовании - _14.jpg
. Таким образом, можно видеть колебательное поведение выше и ниже точки равновесия, поскольку отклонение от равновесного значения имеет чередование знака. Таким образом, популяция приближается к равновесию как затухающее колебание.

Подумаем о том, почему такое колебание может произойти с точки зрения моделируемой популяции. Если

Математические модели в естественнонаучном образовании - _51.jpg
, мера скорости воспроизводства новых ленов популяции, достаточно велика, то популяция ниже пропускной способности окружающей среды может за один временной шаг своего развития временно вырасти настолько, что превысит пропускную способность. Как только численность превышает пропускную способность, популяция вымирает достаточно быстро, чтобы к следующему шагу она снова оказалась ниже пропускной способности окружающей среды. Но затем её численность снова вырастет настолько, чтобы превзойти критическое значение. Как будто популяция перенастраивается и адаптируется заново на каждом временном интервале.

12
{"b":"788195","o":1}