Поверхностная плотность заряда на заряженном параболоиде в безграничном поле (в том числе на полубесконечной прямой) обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от фокуса, или, в случае прямой, расстояния от её конца.
ГЛАВА XI
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ИНВЕРСИЯ
155. Мы уже показали, что для проводящей сферы, находящейся под действием заданного распределения заряда, можно найти распределение заряда на её поверхности методом сферических гармоник.
Для этого нужно разложить потенциал воздействующей системы в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с центром вначале координат, после чего находится соответствующий ряд пространственных гармоник отрицательной степени, описывающий потенциал, обусловленный распределением электричества на сфере.
С помощью этого весьма мощного метода анализа Пуассон нашёл распределение электричества на сфере под влиянием заданной электрической системы и решил даже более сложную задачу нахождения распределения электричества на двух проводящих сферах, влияющих друг на друга. Эти исследования были существенно продолжены Плана и другими, подтвердившими точность расчётов Пуассона.
Применяя этот метод к наиболее простому случаю сферы, находящейся под действием единичного точечного заряда, мы должны разложить потенциал точечного заряда в ряд по пространственным гармоникам и найти второй ряд пространственных гармоник, описывающий потенциал вне сферы, создаваемый электризацией сферы.
По-видимому, никто из этих математиков не обнаружил, что этот второй ряд даёт выражение для потенциала, создаваемого некоторым воображаемым точечным зарядом, который не существует физически как точечный заряд, но может быть назван электрическим изображением, потому что во внешних точках действие поверхности совпадает с действием, которое производил бы воображаемый точечный заряд, если бы эта поверхность была удалена.
Это открытие как бы приберегалось для сэра У. Томсона, развившего его в мощный метод решения электрических задач, допускающих в то же время представление в элементарной геометрической форме.
Его первоначальные исследования, содержащиеся в Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 1848, изложены в духе обычной теории действия на расстоянии и совершенно не используют метода потенциалов и общих теорем главы IV, хотя сами результаты, вероятно, были открыты этими методами. Но я, вместо того чтобы следовать методу автора, буду свободно пользоваться идеей потенциала и эквипотенциальных поверхностей всюду, где это способствует ясности изложения.
Теория электрических изображений
Рис. 7
156. Пусть 𝐴 и 𝐵 на рис. 7 изображают две точки в однородной бесконечной диэлектрической среде. Пусть заряды в точках 𝐴 и 𝐵 равны соответственно 𝑒1 и 𝑒2. Пусть далее 𝑃 - произвольная точка пространства, расстояния которой до 𝐴 и 𝐵 равны соответственно 𝑟1 и 𝑟2. Тогда потенциал в точке 𝑃 равен
𝑉
=
𝑒1
𝑟1
+
𝑒2
𝑟2
.
(1)
Эквипотенциальные поверхности для такого распределения зарядов показаны на рис. I (в конце этого тома) для 𝑒1 и 𝑒2 одного знака и на рис. II для зарядов противоположного знака. Рассмотрим теперь ту поверхность, на которой 𝑉=0 и которая является единственной сферической поверхностью в системе. Если 𝑒1 и 𝑒2 одного знака, то эта поверхность находится вся в бесконечности, если же знаки зарядов противоположны, то существует плоскость или сферическая поверхность на конечном расстоянии, на которой потенциал равен нулю.
Уравнение этой поверхности имеет вид
𝑒1
𝑟1
+
𝑒2
𝑟2
=
0.
(2)
Центр её находится в точке 𝐶 на продолжении отрезка 𝐴𝐵, для которого
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝑒1²
𝑒2²
,
а радиус сферы равен
𝐴𝐵
𝑒1𝑒2
𝑒1²𝑒2²
.
Точки 𝐴 и 𝐵 являются инверсными по отношению к этой сфере, т. е. они лежат на одном и том же радиусе, и радиус сферы является средним геометрическим между их расстояниями от её центра.
Поскольку сферическая поверхность находится под нулевым потенциалом, то если предположить, что она представляет собой тонкую металлическую оболочку, соединённую с землёй, не произойдёт никакого изменения потенциала ни в одной точке ни вне, ни внутри сферы, т. е. всюду электрическое действие останется таким же, как от двух точечных зарядов 𝐴 и 𝐵.
Если теперь, сохраняя заземление металлической оболочки, убрать заряд 𝐵, то потенциал внутри сферы станет всюду равным нулю, а вне сферы останется неизменным,так как поверхность сферы остаётся по-прежнему при том же потенциале и не происходит никакого изменения в распределении электричества вне сферы.
Таким образом, при помещении электрического заряда 𝐴 вне сферического проводника, находящегося под нулевым потенциалом, электрическое действие во всех точках вне сферы точно такое же, как от совместного действия заряда 𝐴 и другого заряда 𝐵 внутри сферы, который можно назвать электрическим изображением заряда 𝐴.
Таким же способом можно показать, что если 𝐵 - точечный заряд внутри сферической оболочки, то его действие внутри сферы точно такое, как действие двух зарядов - заряда 𝐵 и его изображения 𝐴.
157.Определение электрического изображения. Электрическим изображением называется точечный зарядили система зарядов, расположенные по одну сторону поверхности, которые на другой стороне этой поверхности вызвали бы такое же электрическое действие, какое в действительности вызывает истинное распределение заряда по поверхности.
В оптике точка или система точек по одну сторону от зеркала или линзы, которые испускали бы такую систему лучей, какая существует в действительности по другую сторону линзы, называется мнимым (virtual) изображением.
Электрические изображения соответствуют мнимым изображениям в оптике в дом смысле, что они находятся в пространстве по другую сторону поверхности. Но они не соответствуют им ни по своему действительному положению, ни в том отношении, что оптические фокусы имеют лишь приближённый характер.
Не существует действительных электрических изображений, т. е. таких воображаемых точечных зарядов, которые создали бы с той же стороны от заряженной поверхности действие, эквивалентное действию заряженной поверхности.
Действительно, если потенциал в какой-либо области пространства равен потенциалу, вызываемому определённым распределением заряда в той же области, то он и должен в действительности создаваться этим распределением заряда, так как заряд в любой точке может быть найден по потенциалу вблизи этой точки с помощью уравнения Пуассона.
Пусть 𝑎 - радиус сферы, ƒ - расстояние точечного заряда 𝐴 от центра сферы 𝐶, 𝑒 - заряд в точке 𝐴.
Тогда изображением является точка 𝐵, расположенная на том же радиусе сферы на расстоянии 𝑎²/ƒ от центра, и заряд изображения равен -𝑒𝑎/ƒ [см.рис. 7].
Мы показали, что это изображение вызовет по другую сторону поверхности такой же эффект, что и истинная электризация поверхности. Определим теперь поверхностную плотность этой электризации в произвольной точке 𝑃 сферической поверхности. Для этого мы используем теорему Кулона, п. 80, о том, что если 𝑅 - результирующая сила у поверхности проводника, а σ - поверхностная плотность, то 𝑅=4πσ где 𝑅 отсчитывается наружу.
