𝑐𝑑λ3
λ3²-𝑐²
.
Положив теперь λ3=𝑐 sec ψ, получим
γ
=
π/2
∫
ψ
𝑑ψ
sin ψ
,
откуда λ3=𝑐 sec ψ и уравнение семейства эллипсоидов принимает вид
𝑥²
(cth α)²
-
𝑦²+𝑧²
(ssh α)²
=
𝑐²
.
(43)
Эти эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами.
Количество электричества на яйцеобразном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29),
𝑐𝑉
⎛
⎜
⎝
π/2
∫
ψ0
𝑐ψ
sin ψ
⎞-1
⎟
⎠
,
(44)
где 𝑐 sec ψ0 - полярный радиус.
Если обозначить полярный радиус через 𝐴, а экваториальный - через 𝐵, последняя формула запишется в виде
𝑉
=
√
𝐴²-𝐵²
.
ln
𝐴+√
𝐴²-𝐵²
𝐵
(45)
Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закруглёнными концами, то
𝑄
=
𝐴𝑉
ln 2𝐴-ln 𝐵
.
(46)
Если и 𝑏, и 𝑐 стремятся к нулю, а их отношение остаётся постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ.
Если отношение 𝑏 к 𝑐 равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ. Это обычная система сферических полярных координат.
Цилиндрические поверхности
153. При бесконечно большом значении 𝑐 поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси 𝑧. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда 𝑐 бесконечно велико, 𝑘=0, и, следовательно, θ=α, так что уравнение этой системы имеет вид
𝑥²
sin²α
-
𝑦²
cos²α
=
𝑏²
.
(47)
Другая система цилиндров - эллиптическая, и поскольку 𝑘=0, то β равно
λ2
∫
0
𝑑λ2
√λ2²-𝑏²
, т.е.
λ
2
=
𝑏 ch β
,
и уравнение этой системы имеет вид
𝑥²
(ch β)²
-
𝑦²
(sh β)²
=
𝑏²
.
(48)
Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.
Конфокальные параболоиды
154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси 𝑥, находящуюся на расстоянии 𝑡 от центра системы, и подставить вместо 𝑥, λ, 𝑎 и 𝑏 соответственно величины 𝑡+𝑥, 𝑡+λ, 𝑡+𝑎 и 𝑡+𝑏 а затем неограниченно увеличивать 𝑡, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках 𝑥=𝑏 и 𝑥=𝑐 т.е. уравнение
4(𝑥-λ)
+
𝑦²
λ-𝑏
+
𝑧²
λ-𝑐
=
0.
(49)
Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через λ, для системы гиперболических параболоидов - через μ и для второй системы эллиптических параболоидов - через ν, то λ, 𝑏, μ, 𝑐, ν будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения
𝑥
=
λ+μ+ν-𝑐-𝑏
,
𝑦²
=
4
(𝑏-λ)(μ-𝑏)(ν-𝑏)
𝑐-𝑏
𝑧²
=
4
(𝑐-λ)(𝑐-μ)(ν-𝑐)
𝑐-𝑏
(50)
Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (7) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.
В этом случае полагают
α
=
𝑏
∫
λ
𝑑λ
√(𝑏-λ)(𝑐-λ)
,
β
=
μ
∫
𝑏
𝑑μ
√(μ-𝑏)(𝑐-μ)
,
γ
=
ν
∫
𝑐
𝑑ν
√(ν-𝑏)(ν-𝑐)
,
откуда
λ
=
½[
(𝑐+𝑏)
-
(𝑐+𝑏)
ch α
],
μ
=
½[
(𝑐+𝑏)
-
(𝑐+𝑏)
cos β
],
ν
=
½[
(𝑐+𝑏)
+
(𝑐+𝑏)
ch γ
];
(51)
𝑥
=
½(𝑐+𝑏)
+
½(𝑐-𝑏)(ch γ-cos β-ch α)
𝑦
=
2(𝑐-𝑏)
+
sh
α
2
sin
β
2
ch
γ
2
,
𝑧
=
2(𝑐-𝑏)
+
ch
α
2
cos
β
2
sh
γ
2
,
(52)
При 𝑏=𝑐 мы имеем случай параболоидов вращения вокруг оси 𝑥 и
𝑥
=
𝑎(𝑒
2α
-𝑒
2γ
)
,
𝑦
=
2𝑎𝑒
α+γ
cos β
,
𝑧
=
2𝑎𝑒
α+γ
sin β
.
(53)
Поверхности, для которых постоянно β представляют собой плоскости, проходящие через ось, а β - угол, образуемый такой плоскостью с некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось.
Поверхности, для которых постоянно α, представляют собой конфокальные параболоиды. При α=-∞ параболоид вырождается в прямую, заканчивающуюся в начале координат.
Значения α, β, γ можно выразить через 𝑟, θ, φ - сферические Полярные координаты с началом координат в фокусе и осью θ, совпадающей с осью параболоидов:
α
=
ln(𝑟
½
cos½θ)
,
β
=
φ,
γ
=
ln(𝑟
½
sin½θ)
.
(54)
Случай, когда потенциал равен α, можно сравнить с пространственной зональной гармоникой 𝑟𝑖𝑃𝑖. Оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и являются однородными функциями от 𝑥, 𝑦, 𝑧, но в случае параболоида на оси имеется разрыв, так как α изменяется при замене θ на θ+2π.
