Литмир - Электронная Библиотека
Содержание  
A
A

𝑐𝑑λ3

λ3²-𝑐²

.

Положив теперь λ3=𝑐 sec ψ, получим

γ

=

π/2

ψ

𝑑ψ

sin ψ

,

откуда λ3=𝑐 sec ψ и уравнение семейства эллипсоидов принимает вид

𝑥²

(cth α)²

-

𝑦²+𝑧²

(ssh α)²

=

𝑐²

.

(43)

Эти эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами.

Количество электричества на яйцеобразном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29),

𝑐𝑉

π/2

ψ0

𝑐ψ

sin ψ

⎞-1

,

(44)

где 𝑐 sec ψ0 - полярный радиус.

Если обозначить полярный радиус через 𝐴, а экваториальный - через 𝐵, последняя формула запишется в виде

𝑉

=

𝐴²-𝐵²

.

ln

𝐴+√

𝐴²-𝐵²

𝐵

(45)

Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закруглёнными концами, то

𝑄

=

𝐴𝑉

ln 2𝐴-ln 𝐵

.

(46)

Если и 𝑏, и 𝑐 стремятся к нулю, а их отношение остаётся постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ.

Если отношение 𝑏 к 𝑐 равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ. Это обычная система сферических полярных координат.

Цилиндрические поверхности

153. При бесконечно большом значении 𝑐 поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси 𝑧. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда 𝑐 бесконечно велико, 𝑘=0, и, следовательно, θ=α, так что уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

sin²α

-

𝑦²

cos²α

=

𝑏²

.

(47)

Другая система цилиндров - эллиптическая, и поскольку 𝑘=0, то β равно

λ2

0

𝑑λ2

√λ2²-𝑏² 

, т.е.

λ

2

=

𝑏 ch β

,

и уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

(ch β)²

-

𝑦²

(sh β)²

=

𝑏²

.

(48)

Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.

Конфокальные параболоиды

154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси 𝑥, находящуюся на расстоянии 𝑡 от центра системы, и подставить вместо 𝑥, λ, 𝑎 и 𝑏 соответственно величины 𝑡+𝑥, 𝑡+λ, 𝑡+𝑎 и 𝑡+𝑏 а затем неограниченно увеличивать 𝑡, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках 𝑥=𝑏 и 𝑥=𝑐 т.е. уравнение

4(𝑥-λ)

+

𝑦²

λ-𝑏

+

𝑧²

λ-𝑐

=

0.

(49)

Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через λ, для системы гиперболических параболоидов - через μ и для второй системы эллиптических параболоидов - через ν, то λ, 𝑏, μ, 𝑐, ν будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения

𝑥

=

λ+μ+ν-𝑐-𝑏

,

𝑦²

=

4

(𝑏-λ)(μ-𝑏)(ν-𝑏)

𝑐-𝑏

𝑧²

=

4

(𝑐-λ)(𝑐-μ)(ν-𝑐)

𝑐-𝑏

(50)

Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (7) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.

В этом случае полагают

α

=

𝑏

λ

𝑑λ

√(𝑏-λ)(𝑐-λ) 

,

β

=

μ

𝑏

𝑑μ

√(μ-𝑏)(𝑐-μ) 

,

γ

=

ν

𝑐

𝑑ν

√(ν-𝑏)(ν-𝑐) 

,

откуда

λ

=

½[

(𝑐+𝑏)

-

(𝑐+𝑏)

ch α

],

μ

=

½[

(𝑐+𝑏)

-

(𝑐+𝑏)

cos β

],

ν

=

½[

(𝑐+𝑏)

+

(𝑐+𝑏)

ch γ

];

(51)

𝑥

=

½(𝑐+𝑏)

+

½(𝑐-𝑏)(ch γ-cos β-ch α)

𝑦

=

2(𝑐-𝑏)

+

sh

α

2

sin

β

2

ch

γ

2

,

𝑧

=

2(𝑐-𝑏)

+

ch

α

2

cos

β

2

sh

γ

2

,

(52)

При 𝑏=𝑐 мы имеем случай параболоидов вращения вокруг оси 𝑥 и

𝑥

=

𝑎(𝑒

-𝑒

)

,

𝑦

=

2𝑎𝑒

α+γ

cos β

,

𝑧

=

2𝑎𝑒

α+γ

sin β

.

(53)

Поверхности, для которых постоянно β представляют собой плоскости, проходящие через ось, а β - угол, образуемый такой плоскостью с некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось.

Поверхности, для которых постоянно α, представляют собой конфокальные параболоиды. При α=-∞ параболоид вырождается в прямую, заканчивающуюся в начале координат.

Значения α, β, γ можно выразить через 𝑟, θ, φ - сферические Полярные координаты с началом координат в фокусе и осью θ, совпадающей с осью параболоидов:

α

=

ln(𝑟

½

cos½θ)

,

β

=

φ,

γ

=

ln(𝑟

½

sin½θ)

.

(54)

Случай, когда потенциал равен α, можно сравнить с пространственной зональной гармоникой 𝑟𝑖𝑃𝑖. Оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и являются однородными функциями от 𝑥, 𝑦, 𝑧, но в случае параболоида на оси имеется разрыв, так как α изменяется при замене θ на θ+2π.

92
{"b":"603607","o":1}