Эти шесть граней ограничивают элемент объёмом
𝑑𝑠
1
𝑑𝑠
2
𝑑𝑠
3
=
𝐷1²𝐷2²𝐷3²
𝑐³
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
,
и если ρ - объёмная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдём, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным на 4π количеством электричества на нём равен нулю, т. е., деля на 𝑑α 𝑑β 𝑑γ,
𝑑²𝑉
𝑑α²
𝐷
1
²
+
𝑑²𝑉
𝑑β²
𝐷
2
²
+
𝑑²𝑉
𝑑γ²
𝐷
3
²
+
4πρ
𝐷1²𝐷2²𝐷3²
𝑐³
=
0.
(11)
Уравнение (11) представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсоидальных координатах.
При ρ=0 четвёртый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа.
Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдёт в упомянутой выше работе Ламе.
149. Чтобы определить величины α, β, γ, мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы θ, φ и ψ, где
λ
1
=
𝑏 sin θ
,
(12)
λ
2
=
√
𝑐²sinφ+𝑏²sinφ
,
(13)
λ
3
=
𝑏 sec ψ
.
(14)
Если положить 𝑏=𝑘𝑐 и 𝑘²+𝑘'²=1, то 𝑘 и 𝑘' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим
α
=
θ
∫
0
𝑑θ
√1-𝑘²sin²θ
(15)
- эллиптический интеграл первого рода, для которого можно воспользоваться обычным обозначением 𝐹(𝑘,θ).
Таким же образом найдём, что
β
=
φ
∫
0
𝑑φ
√1-𝑘'²cos²φ
=
𝐹(𝑘')
-
𝐹(𝑘',φ)
,
(16)
где 𝐹(𝑘') - полная функция для модуля 𝑘', а
γ
=
ψ
∫
0
𝑑ψ
√1-𝑘²cos²ψ
=
𝐹(𝑘)
-
𝐹(𝑘,ψ)
.
(17)
Здесь α представлено как функция угла θ, который, в свою очередь, является функцией от λ1, β - функция от φ и, следовательно, от λ2, а γ - функция от ψ и, следовательно, от λ3.
Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от α, β, γ. Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу.
Легко видеть, что, поскольку параметры - периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от α, β, γ. Периоды λ1 и λ3 равны 4𝐹(𝑘), а период λ2 равен 2𝐹(𝑘').
Частные решения
150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если 𝑉 является линейной функцией от α, β, γ. Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними.
Двухполостный гиперболоид
Постоянное α соответствует двух полостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности α имеет тот же знак, что и 𝑥. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист.
Пусть α1 и α2 - значения α, соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть 𝑉1 и 𝑉2 - значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить
𝑉
=
α1𝑉2-α2𝑉1+α(𝑉1-𝑉2)
α1-α2
,
(18)
то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объёме за поверхностью α1 положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉1, а в объёме за поверхностью α2 положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉2, то мы получим полное решение для этого частного случая.
Результирующая сила в любой точке обоих листов равна
±𝑅
1
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑠1
=
-
𝑑𝑉
𝑑α
𝑑α
𝑑𝑠1
,
(19)
или
𝑅
1
=
𝑉1-𝑉2
α1-α2
𝑐
𝐷2𝐷3
.
(20)
Если 𝑝1 - перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а 𝑃1 - произведение полуосей поверхности, то 𝑝1𝐷2𝐷3=𝑃1 Отсюда следует, что
𝑅
1
=
𝑉1-𝑉2
α1-α2
𝑐𝑝1
𝑃1
,
(21)
т.е. сила в любой точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости.
Поверхностная плотность σ может быть найдена из уравнения
4πσ
=
𝑅
1
(22)
Полное количество электричества на сегменте, отсекаемом на листе гиперболоида плоскостью 𝑥=𝑑, равно
𝑄
=
𝑐
2
𝑉1-𝑉2
α1-α2
⎛
⎜
⎝
𝑑
λ1
-1
⎞
⎟
⎠
.
(23)
Следовательно, полный заряд на всем бесконечном листе бесконечен.
Предельные формы этой поверхности:
1. При α=𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦 расположенной с положительной стороны от положительной ветви гиперболы, уравнение которой
𝑥²
𝑎²
-
𝑧²
𝑐²-𝑏²
=
1.
(24)
2. При α=0 поверхность переходит в плоскость 𝑦𝑧.
3. При α=-𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, расположенной с отрицательной стороны от отрицательной ветви той же гиперболы.
Однополостный гиперболоид
Положив постоянным β, мы получаем уравнение однополостного гиперболоида. Поэтому две поверхности, образующие границы электрического поля, должны принадлежать двум различным гиперболоидам. В остальном исследование проводится так же, как и для двухполостного гиперболоида. Точно так же при заданной разности потенциалов плотность заряда в произвольной точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости, а полный заряд на бесконечной поверхности бесконечен.
