𝑥²
λ²-𝑎²
+
𝑦²
λ²-𝑏²
+
𝑧²
λ²-𝑐²
=
1,
(1)
где λ - переменный параметр, для которого индексом мы будем различать вид поверхности второго порядка, а именно будем писать λ1 для двухполостного гиперболоида, λ2 - для однополостного гиперболоида и λ3 - для эллипсоида. Величины 𝑎, λ1, 𝑏, λ2, 𝑐, λ3, возрастают в указанном здесь порядке. Величина 𝑎 введена здесь ради симметрии, в наших окончательных результатах мы будем всегда считать 𝑎=0.
Если мы рассмотрим три поверхности с параметрами λ1, λ2, λ3, то из уравнений этих поверхностей найдём, что значение 𝑥² в точке пересечения удовлетворяет уравнению
𝑥²
(𝑏²-𝑎²)
(𝑐²-𝑎²)
=
(λ
1
²-𝑎²)
(λ
2
²-𝑎²)
(λ
3
²-𝑎²)
.
(2)
Значения 𝑦² и 𝑧² могут быть найдены симметричной перестановкой 𝑎, 𝑏, 𝑐. Дифференцируя это равенство по λ1, получим
𝑑𝑥
𝑑λ1
=
λ1
λ1²-𝑎
𝑥
.
(3)
Если 𝑑𝑠1 - длина участка кривой пересечения поверхностей λ2 и λ3, отсекаемого поверхностями λ1 и λ1+𝑑λ1, то
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑠1
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑λ1
⎞²
⎟
⎠
=
=
λ1²(λ2²-λ1²)(λ3²-λ1²)
(λ1²-𝑎²)(λ1²-𝑏²)(λ1²-𝑐²)
.
(4)
Знаменатель этой дроби равен произведению квадратов полуосей поверхности λ1.
Обозначим
𝐷
1
²
=
λ
3
²
-
λ
2
²
,
𝐷
2
²
=
λ
3
²
-
λ
1
²
,
𝐷
3
²
=
λ
2
²
-
λ
1
²
(5)
и положим 𝑎=0. Тогда
𝑑𝑠1
𝑑λ1
=
𝐷2𝐷3
√𝑏²-λ1²√𝑐²-λ1²
.
(6)
Легко видеть, что 𝐷2 и 𝐷3 - полуоси центрального сечения поверхности λ1, сопряжённого диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось 𝐷3 параллельна 𝑑𝑠2, а 𝐷2 параллельна 𝑑𝑠3.
Если, кроме того, мы выразим три параметра λ1, λ2, λ3 через три функции α, β, γ, определяемые уравнениями
α
=
λ1
∫
0
𝑐𝑑λ1
√(𝑏²-λ1²)(𝑐²-λ1²)
,
β
=
λ2
∫
𝑏
𝑐𝑑λ2
√(λ2²-𝑏²)(𝑐²-λ2²)
,
γ
=
λ3
∫
𝑐
𝑐𝑑λ3
√(λ3²-𝑏²)(λ3²-𝑐²)
,
(7)
то получим
𝑑𝑠
1
=
1
𝑐
𝐷
2
𝐷
3
𝑑α
,
𝑑𝑠
2
=
1
𝑐
𝐷
3
𝐷
1
𝑑β
,
𝑑𝑠
3
=
1
𝑐
𝐷
1
𝐷
2
𝑑γ
.
(8)
148. Пусть теперь 𝑉 - потенциал произвольной точки α, β, γ, тогда составляющая результирующей силы в направлении 𝑑𝑠1 равна
𝑅
1
=
-
𝑑𝑉
𝑑𝑠1
=
-
𝑑𝑉
𝑑α
𝑑α
𝑑𝑠1
=
-
𝑑𝑉
𝑑α
𝑐
𝐷2𝐷3
.
(9)
Поскольку 𝑑𝑠1, 𝑑𝑠2, 𝑑𝑠3 взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по элементу площади 𝑑𝑠2𝑑𝑠3 равен
𝑅
1
𝑑𝑠
2
𝑑𝑠
3
=
-
𝑑𝑠α
𝑑1
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷3𝐷1
𝑐
𝐷1𝐷2
𝑐
𝑑β
𝑑γ
=
=
-
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷1²
𝑐
𝑑β
𝑑γ
.
(10)
Рассмотрим теперь элемент объёма, заключённый между поверхностями α, β, γ и α+𝑑α, β+𝑑β, γ+𝑑γ. Таких элементов будет восемь, по одному в каждом октанте пространства.
Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (отсчитываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности α поверхностями β и β+𝑑β, γ и γ+𝑑γ.
Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности α+𝑑α равен
+
𝑑𝑉
𝑑α
𝐷1²
𝑐
𝑑β
𝑑γ
+
𝑑²𝑉
𝑑²α
𝐷1²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
,
поскольку 𝐷1 не зависит от α Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объёма будет равен сумме этих выражений, т. е.
𝑑²𝑉
𝑑α²
𝐷1²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
.
Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны
𝑑²𝑉
𝑑β²
𝐷2²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
и
𝑑²𝑉
𝑑γ²
𝐷3²
𝑐
𝑑α
𝑑β
𝑑γ
